Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62134 / 39623
↖ ↑ ↗
← N 57.787697°
W  9.343872°		 ← 162.78 m → N 57.787697°
W  9.341126°		 →
↑
162.84 m
↓
↑
162.84 m
↓
N 57.786233°
W  9.343872°		 ← 162.78 m →
26 507 m²		 N 57.786233°
W  9.341126°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474048614501953 y=0.302303314208984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474048614501953 × 217)
    floor (0.474048614501953 × 131072)
    floor (62134.5)     		tx = 62134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302303314208984 × 217)
    floor (0.302303314208984 × 131072)
    floor (39623.5)     		ty = 39623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62134 / 39623 ti = "17/62134/39623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62134/39623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62134 ÷ 217
    62134 ÷ 131072     		x = 0.474044799804688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39623 ÷ 217
    39623 ÷ 131072     		y = 0.302299499511719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474044799804688 × 2 - 1) × π
    -0.051910400390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16308133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302299499511719 × 2 - 1) × π
    0.395401000976562 × 3.1415926535     		Φ = 1.24218887985452
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16308133} λ = -0.16308133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24218887985452))-π/2
    2×atan(3.46318567176304)-π/2
    2×1.28969095090879-π/2
    2.57938190181757-1.57079632675     		φ = 1.00858558
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16308133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.343872°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00858558 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.787697°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62134 KachelY 39623 -0.16308133 1.00858558 -9.343872 57.787697
    Oben rechts KachelX + 1 62135 KachelY 39623 -0.16303340 1.00858558 -9.341126 57.787697
    Unten links KachelX 62134 KachelY + 1 39624 -0.16308133 1.00856002 -9.343872 57.786233
    Unten rechts KachelX + 1 62135 KachelY + 1 39624 -0.16303340 1.00856002 -9.341126 57.786233
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00858558-1.00856002) × R
    2.55600000000911e-05 × 6371000     		dl = 162.84276000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00858558-1.00856002) × R
    2.55600000000911e-05 × 6371000     		dr = 162.84276000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16308133--0.16303340) × cos(1.00858558) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.533057964856726 × 6371000     		do = 162.775662256324m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16308133--0.16303340) × cos(1.00856002) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.533079590454765 × 6371000     		du = 162.782265892841m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00858558)-sin(1.00856002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533057964856726-0.533079590454765)×R²
    abs(-0.16303340--0.16308133)×2.16255980395319e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.16255980395319e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.16255980395319e-05×40589641000000     		ar = 26507.3757813824m²