Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62132 / 39565
↖ ↑ ↗
← N 57.872514°
W  9.349365°		 ← 162.43 m → N 57.872514°
W  9.346619°		 →
↑
162.46 m
↓
↑
162.46 m
↓
N 57.871053°
W  9.349365°		 ← 162.43 m →
26 388 m²		 N 57.871053°
W  9.346619°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62132 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474033355712891 y=0.301860809326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474033355712891 × 217)
    floor (0.474033355712891 × 131072)
    floor (62132.5)     		tx = 62132
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301860809326172 × 217)
    floor (0.301860809326172 × 131072)
    floor (39565.5)     		ty = 39565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62132 / 39565 ti = "17/62132/39565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62132/39565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62132 ÷ 217
    62132 ÷ 131072     		x = 0.474029541015625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39565 ÷ 217
    39565 ÷ 131072     		y = 0.301856994628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474029541015625 × 2 - 1) × π
    -0.05194091796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16317721
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301856994628906 × 2 - 1) × π
    0.396286010742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.24496922003248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16317721} λ = -0.16317721}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24496922003248))-π/2
    2×atan(3.47282790416162)-π/2
    2×1.29043112095787-π/2
    2.58086224191573-1.57079632675     		φ = 1.01006592
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16317721} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.349365°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01006592 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.872514°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62132 KachelY 39565 -0.16317721 1.01006592 -9.349365 57.872514
    Oben rechts KachelX + 1 62133 KachelY 39565 -0.16312927 1.01006592 -9.346619 57.872514
    Unten links KachelX 62132 KachelY + 1 39566 -0.16317721 1.01004042 -9.349365 57.871053
    Unten rechts KachelX + 1 62133 KachelY + 1 39566 -0.16312927 1.01004042 -9.346619 57.871053
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01006592-1.01004042) × R
    2.55000000000116e-05 × 6371000     		dl = 162.460500000074m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01006592-1.01004042) × R
    2.55000000000116e-05 × 6371000     		dr = 162.460500000074m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16317721--0.16312927) × cos(1.01006592) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.531804897063613 × 6371000     		do = 162.426904221265m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16317721--0.16312927) × cos(1.01004042) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.531826491996735 × 6371000     		du = 162.433499869694m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01006592)-sin(1.01004042))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.531804897063613-0.531826491996735)×R²
    abs(-0.16312927--0.16317721)×2.15949331220378e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.15949331220378e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.15949331220378e-05×40589641000000     		ar = 26388.4918408118m²