Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62131 / 39483
↖ ↑ ↗
← N 57.992088°
W  9.352112°		 ← 161.85 m → N 57.992088°
W  9.349365°		 →
↑
161.89 m
↓
↑
161.89 m
↓
N 57.990632°
W  9.352112°		 ← 161.86 m →
26 202 m²		 N 57.990632°
W  9.349365°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39483 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.474025726318359 y=0.301235198974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.474025726318359 × 217)
    floor (0.474025726318359 × 131072)
    floor (62131.5)     		tx = 62131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.301235198974609 × 217)
    floor (0.301235198974609 × 131072)
    floor (39483.5)     		ty = 39483
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62131 / 39483 ti = "17/62131/39483"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62131/39483.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62131 ÷ 217
    62131 ÷ 131072     		x = 0.474021911621094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39483 ÷ 217
    39483 ÷ 131072     		y = 0.301231384277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.474021911621094 × 2 - 1) × π
    -0.0519561767578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16322514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.301231384277344 × 2 - 1) × π
    0.397537231445312 × 3.1415926535     		Φ = 1.24890004580132
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16322514} λ = -0.16322514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24890004580132))-π/2
    2×atan(3.48650585077864)-π/2
    2×1.29147459863049-π/2
    2.58294919726097-1.57079632675     		φ = 1.01215287
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16322514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.352112°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.01215287 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.992088°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62131 KachelY 39483 -0.16322514 1.01215287 -9.352112 57.992088
    Oben rechts KachelX + 1 62132 KachelY 39483 -0.16317721 1.01215287 -9.349365 57.992088
    Unten links KachelX 62131 KachelY + 1 39484 -0.16322514 1.01212746 -9.352112 57.990632
    Unten rechts KachelX + 1 62132 KachelY + 1 39484 -0.16317721 1.01212746 -9.349365 57.990632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.01215287-1.01212746) × R
    2.54099999998925e-05 × 6371000     		dl = 161.887109999315m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.01215287-1.01212746) × R
    2.54099999998925e-05 × 6371000     		dr = 161.887109999315m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16322514--0.16317721) × cos(1.01215287) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.530036371362693 × 6371000     		do = 161.852982333151m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16322514--0.16317721) × cos(1.01212746) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.530057918233995 × 6371000     		du = 161.859561929512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.01215287)-sin(1.01212746))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.530036371362693-0.530057918233995)×R²
    abs(-0.16317721--0.16322514)×2.15468713026246e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.15468713026246e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.15468713026246e-05×40589641000000     		ar = 26202.4441318706m²