Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62126 / 35076
↖ ↑ ↗
← N 63.855195°
W  9.365845°		 ← 134.58 m → N 63.855195°
W  9.363098°		 →
↑
134.56 m
↓
↑
134.56 m
↓
N 63.853985°
W  9.365845°		 ← 134.59 m →
18 109 m²		 N 63.853985°
W  9.363098°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35076 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473987579345703 y=0.267612457275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473987579345703 × 217)
    floor (0.473987579345703 × 131072)
    floor (62126.5)     		tx = 62126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267612457275391 × 217)
    floor (0.267612457275391 × 131072)
    floor (35076.5)     		ty = 35076
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62126 / 35076 ti = "17/62126/35076"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62126/35076.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62126 ÷ 217
    62126 ÷ 131072     		x = 0.473983764648438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35076 ÷ 217
    35076 ÷ 131072     		y = 0.267608642578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473983764648438 × 2 - 1) × π
    -0.052032470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16346483
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267608642578125 × 2 - 1) × π
    0.46478271484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.46015796242691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16346483} λ = -0.16346483}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46015796242691))-π/2
    2×atan(4.30663976188674)-π/2
    2×1.3426398644782-π/2
    2.68527972895639-1.57079632675     		φ = 1.11448340
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16346483} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.365845°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11448340 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.855195°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62126 KachelY 35076 -0.16346483 1.11448340 -9.365845 63.855195
    Oben rechts KachelX + 1 62127 KachelY 35076 -0.16341689 1.11448340 -9.363098 63.855195
    Unten links KachelX 62126 KachelY + 1 35077 -0.16346483 1.11446228 -9.365845 63.853985
    Unten rechts KachelX + 1 62127 KachelY + 1 35077 -0.16341689 1.11446228 -9.363098 63.853985
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11448340-1.11446228) × R
    2.11199999999856e-05 × 6371000     		dl = 134.555519999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11448340-1.11446228) × R
    2.11199999999856e-05 × 6371000     		dr = 134.555519999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16346483--0.16341689) × cos(1.11448340) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.440641285672328 × 6371000     		do = 134.583190751012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16346483--0.16341689) × cos(1.11446228) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.440660244644763 × 6371000     		du = 134.588981309197m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11448340)-sin(1.11446228))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440641285672328-0.440660244644763)×R²
    abs(-0.16341689--0.16346483)×1.89589724344796e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89589724344796e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89589724344796e-05×40589641000000     		ar = 18109.3007913008m²