Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62123 / 35077
↖ ↑ ↗
← N 63.853985°
W  9.374085°		 ← 134.59 m → N 63.853985°
W  9.371338°		 →
↑
134.62 m
↓
↑
134.62 m
↓
N 63.852774°
W  9.374085°		 ← 134.59 m →
18 119 m²		 N 63.852774°
W  9.371338°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35077 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473964691162109 y=0.267620086669922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473964691162109 × 217)
    floor (0.473964691162109 × 131072)
    floor (62123.5)     		tx = 62123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267620086669922 × 217)
    floor (0.267620086669922 × 131072)
    floor (35077.5)     		ty = 35077
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62123 / 35077 ti = "17/62123/35077"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62123/35077.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62123 ÷ 217
    62123 ÷ 131072     		x = 0.473960876464844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35077 ÷ 217
    35077 ÷ 131072     		y = 0.267616271972656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473960876464844 × 2 - 1) × π
    -0.0520782470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16360864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267616271972656 × 2 - 1) × π
    0.464767456054688 × 3.1415926535     		Φ = 1.46011002552729
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16360864} λ = -0.16360864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46011002552729))-π/2
    2×atan(4.30643331987691)-π/2
    2×1.34262930276246-π/2
    2.68525860552492-1.57079632675     		φ = 1.11446228
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16360864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.374085°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11446228 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.853985°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62123 KachelY 35077 -0.16360864 1.11446228 -9.374085 63.853985
    Oben rechts KachelX + 1 62124 KachelY 35077 -0.16356070 1.11446228 -9.371338 63.853985
    Unten links KachelX 62123 KachelY + 1 35078 -0.16360864 1.11444115 -9.374085 63.852774
    Unten rechts KachelX + 1 62124 KachelY + 1 35078 -0.16356070 1.11444115 -9.371338 63.852774
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11446228-1.11444115) × R
    2.11299999999248e-05 × 6371000     		dl = 134.619229999521m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11446228-1.11444115) × R
    2.11299999999248e-05 × 6371000     		dr = 134.619229999521m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16360864--0.16356070) × cos(1.11446228) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.440660244644763 × 6371000     		do = 134.588981309197m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16360864--0.16356070) × cos(1.11444115) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.440679212397285 × 6371000     		du = 134.594774549048m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11446228)-sin(1.11444115))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440660244644763-0.440679212397285)×R²
    abs(-0.16356070--0.16360864)×1.89677525225806e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89677525225806e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89677525225806e-05×40589641000000     		ar = 18118.6549716573m²