Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62122 / 38373
↖ ↑ ↗
← N 59.571897°
W  9.376831°		 ← 154.68 m → N 59.571897°
W  9.374085°		 →
↑
154.69 m
↓
↑
154.69 m
↓
N 59.570506°
W  9.376831°		 ← 154.69 m →
23 928 m²		 N 59.570506°
W  9.374085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38373 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473957061767578 y=0.292766571044922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473957061767578 × 217)
    floor (0.473957061767578 × 131072)
    floor (62122.5)     		tx = 62122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.292766571044922 × 217)
    floor (0.292766571044922 × 131072)
    floor (38373.5)     		ty = 38373
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62122 / 38373 ti = "17/62122/38373"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62122/38373.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62122 ÷ 217
    62122 ÷ 131072     		x = 0.473953247070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38373 ÷ 217
    38373 ÷ 131072     		y = 0.292762756347656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473953247070312 × 2 - 1) × π
    -0.052093505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16365658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.292762756347656 × 2 - 1) × π
    0.414474487304688 × 3.1415926535     		Φ = 1.30211000437959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16365658} λ = -0.16365658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.30211000437959))-π/2
    2×atan(3.67704707347759)-π/2
    2×1.30526103240169-π/2
    2.61052206480337-1.57079632675     		φ = 1.03972574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16365658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.376831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.03972574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 59.571897°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62122 KachelY 38373 -0.16365658 1.03972574 -9.376831 59.571897
    Oben rechts KachelX + 1 62123 KachelY 38373 -0.16360864 1.03972574 -9.374085 59.571897
    Unten links KachelX 62122 KachelY + 1 38374 -0.16365658 1.03970146 -9.376831 59.570506
    Unten rechts KachelX + 1 62123 KachelY + 1 38374 -0.16360864 1.03970146 -9.374085 59.570506
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.03972574-1.03970146) × R
    2.42799999998766e-05 × 6371000     		dl = 154.687879999214m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.03972574-1.03970146) × R
    2.42799999998766e-05 × 6371000     		dr = 154.687879999214m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16365658--0.16360864) × cos(1.03972574) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.506456761174601 × 6371000     		do = 154.684931059744m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16365658--0.16360864) × cos(1.03970146) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.506477696828229 × 6371000     		du = 154.691325347246m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.03972574)-sin(1.03970146))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.506456761174601-0.506477696828229)×R²
    abs(-0.16360864--0.16365658)×2.09356536277072e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.09356536277072e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.09356536277072e-05×40589641000000     		ar = 23928.3786140413m²