Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62122 / 34286
↖ ↑ ↗
← N 64.795187°
W  9.376831°		 ← 130.07 m → N 64.795187°
W  9.374085°		 →
↑
130.10 m
↓
↑
130.10 m
↓
N 64.794017°
W  9.376831°		 ← 130.07 m →
16 922 m²		 N 64.794017°
W  9.374085°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34286 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473957061767578 y=0.261585235595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473957061767578 × 217)
    floor (0.473957061767578 × 131072)
    floor (62122.5)     		tx = 62122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261585235595703 × 217)
    floor (0.261585235595703 × 131072)
    floor (34286.5)     		ty = 34286
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62122 / 34286 ti = "17/62122/34286"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62122/34286.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62122 ÷ 217
    62122 ÷ 131072     		x = 0.473953247070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34286 ÷ 217
    34286 ÷ 131072     		y = 0.261581420898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473953247070312 × 2 - 1) × π
    -0.052093505859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16365658
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261581420898438 × 2 - 1) × π
    0.476837158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.49802811312675
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16365658} λ = -0.16365658}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49802811312675))-π/2
    2×atan(4.4728603939266)-π/2
    2×1.35084284116994-π/2
    2.70168568233989-1.57079632675     		φ = 1.13088936
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16365658} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.376831°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13088936 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.795187°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62122 KachelY 34286 -0.16365658 1.13088936 -9.376831 64.795187
    Oben rechts KachelX + 1 62123 KachelY 34286 -0.16360864 1.13088936 -9.374085 64.795187
    Unten links KachelX 62122 KachelY + 1 34287 -0.16365658 1.13086894 -9.376831 64.794017
    Unten rechts KachelX + 1 62123 KachelY + 1 34287 -0.16360864 1.13086894 -9.374085 64.794017
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13088936-1.13086894) × R
    2.0420000000021e-05 × 6371000     		dl = 130.095820000134m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13088936-1.13086894) × R
    2.0420000000021e-05 × 6371000     		dr = 130.095820000134m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16365658--0.16360864) × cos(1.13088936) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.425855291275778 × 6371000     		do = 130.06716747081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16365658--0.16360864) × cos(1.13086894) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.425873767025048 × 6371000     		du = 130.072810440203m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13088936)-sin(1.13086894))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425855291275778-0.425873767025048)×R²
    abs(-0.16360864--0.16365658)×1.8475749269331e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.8475749269331e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.8475749269331e-05×40589641000000     		ar = 16921.5618712251m²