Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62121 / 34263
↖ ↑ ↗
← N 64.822076°
W  9.379578°		 ← 129.91 m → N 64.822076°
W  9.376831°		 →
↑
129.97 m
↓
↑
129.97 m
↓
N 64.820907°
W  9.379578°		 ← 129.92 m →
16 885 m²		 N 64.820907°
W  9.376831°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34263 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473949432373047 y=0.261409759521484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473949432373047 × 217)
    floor (0.473949432373047 × 131072)
    floor (62121.5)     		tx = 62121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261409759521484 × 217)
    floor (0.261409759521484 × 131072)
    floor (34263.5)     		ty = 34263
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62121 / 34263 ti = "17/62121/34263"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62121/34263.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62121 ÷ 217
    62121 ÷ 131072     		x = 0.473945617675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34263 ÷ 217
    34263 ÷ 131072     		y = 0.261405944824219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473945617675781 × 2 - 1) × π
    -0.0521087646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16370451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.261405944824219 × 2 - 1) × π
    0.477188110351562 × 3.1415926535     		Φ = 1.49913066181802
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16370451} λ = -0.16370451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49913066181802))-π/2
    2×atan(4.47779465993454)-π/2
    2×1.35107748720244-π/2
    2.70215497440488-1.57079632675     		φ = 1.13135865
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16370451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.379578°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13135865 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.822076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62121 KachelY 34263 -0.16370451 1.13135865 -9.379578 64.822076
    Oben rechts KachelX + 1 62122 KachelY 34263 -0.16365658 1.13135865 -9.376831 64.822076
    Unten links KachelX 62121 KachelY + 1 34264 -0.16370451 1.13133825 -9.379578 64.820907
    Unten rechts KachelX + 1 62122 KachelY + 1 34264 -0.16365658 1.13133825 -9.376831 64.820907
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13135865-1.13133825) × R
    2.03999999999205e-05 × 6371000     		dl = 129.968399999493m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13135865-1.13133825) × R
    2.03999999999205e-05 × 6371000     		dr = 129.968399999493m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16370451--0.16365658) × cos(1.13135865) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.425430634895127 × 6371000     		do = 129.910362295769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16370451--0.16365658) × cos(1.13133825) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.425449096623732 × 6371000     		du = 129.915999806693m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13135865)-sin(1.13133825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425430634895127-0.425449096623732)×R²
    abs(-0.16365658--0.16370451)×1.84617286055344e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.84617286055344e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.84617286055344e-05×40589641000000     		ar = 16884.6082806073m²