Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62120 / 34264
↖ ↑ ↗
← N 64.820907°
W  9.382324°		 ← 129.94 m → N 64.820907°
W  9.379578°		 →
↑
129.90 m
↓
↑
129.90 m
↓
N 64.819739°
W  9.382324°		 ← 129.95 m →
16 881 m²		 N 64.819739°
W  9.379578°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62120 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473941802978516 y=0.261417388916016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473941802978516 × 217)
    floor (0.473941802978516 × 131072)
    floor (62120.5)     		tx = 62120
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.261417388916016 × 217)
    floor (0.261417388916016 × 131072)
    floor (34264.5)     		ty = 34264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62120 / 34264 ti = "17/62120/34264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62120/34264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62120 ÷ 217
    62120 ÷ 131072     		x = 0.47393798828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34264 ÷ 217
    34264 ÷ 131072     		y = 0.26141357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47393798828125 × 2 - 1) × π
    -0.0521240234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16375245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.26141357421875 × 2 - 1) × π
    0.4771728515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.4990827249184
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16375245} λ = -0.16375245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4990827249184))-π/2
    2×atan(4.47758001348619)-π/2
    2×1.35106729006838-π/2
    2.70213458013677-1.57079632675     		φ = 1.13133825
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16375245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.382324°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.13133825 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.820907°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62120 KachelY 34264 -0.16375245 1.13133825 -9.382324 64.820907
    Oben rechts KachelX + 1 62121 KachelY 34264 -0.16370451 1.13133825 -9.379578 64.820907
    Unten links KachelX 62120 KachelY + 1 34265 -0.16375245 1.13131786 -9.382324 64.819739
    Unten rechts KachelX + 1 62121 KachelY + 1 34265 -0.16370451 1.13131786 -9.379578 64.819739
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.13133825-1.13131786) × R
    2.03899999999813e-05 × 6371000     		dl = 129.904689999881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.13133825-1.13131786) × R
    2.03899999999813e-05 × 6371000     		dr = 129.904689999881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16375245--0.16370451) × cos(1.13133825) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.425449096623732 × 6371000     		do = 129.943105168625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16375245--0.16370451) × cos(1.13131786) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.425467549125546 × 6371000     		du = 129.948741037646m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.13133825)-sin(1.13131786))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425449096623732-0.425467549125546)×R²
    abs(-0.16370451--0.16375245)×1.84525018138704e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.84525018138704e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.84525018138704e-05×40589641000000     		ar = 16880.5848579094m²