Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 6212 / 10364
↖ ↑ ↗
← S 43.004647°
W 43.505859°		 ← 1 786.77 m → S 43.004647°
W 43.483886°		 →
↑
1 786.49 m
↓
↑
1 786.49 m
↓
S 43.020714°
W 43.505859°		 ← 1 786.30 m →
3 191 625 m²		 S 43.020714°
W 43.483886°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6212 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 10364 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.379180908203125 y=0.632598876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.379180908203125 × 214)
    floor (0.379180908203125 × 16384)
    floor (6212.5)     		tx = 6212
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.632598876953125 × 214)
    floor (0.632598876953125 × 16384)
    floor (10364.5)     		ty = 10364
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6212 / 10364 ti = "14/6212/10364"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6212/10364.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6212 ÷ 214
    6212 ÷ 16384     		x = 0.379150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 10364 ÷ 214
    10364 ÷ 16384     		y = 0.632568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.379150390625 × 2 - 1) × π
    -0.24169921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.75932049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.632568359375 × 2 - 1) × π
    -0.26513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.832951567798096
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.75932049} λ = -0.75932049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.832951567798096))-π/2
    2×atan(0.434764154799034)-π/2
    2×0.410111820386986-π/2
    0.820223640773972-1.57079632675     		φ = -0.75057269
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.75932049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.505859°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.75057269 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -43.004647°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6212 KachelY 10364 -0.75932049 -0.75057269 -43.505859 -43.004647
    Oben rechts KachelX + 1 6213 KachelY 10364 -0.75893699 -0.75057269 -43.483886 -43.004647
    Unten links KachelX 6212 KachelY + 1 10365 -0.75932049 -0.75085310 -43.505859 -43.020714
    Unten rechts KachelX + 1 6213 KachelY + 1 10365 -0.75893699 -0.75085310 -43.483886 -43.020714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.75057269--0.75085310) × R
    0.000280410000000009 × 6371000     		dl = 1786.49211000006m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.75057269--0.75085310) × R
    0.000280410000000009 × 6371000     		dr = 1786.49211000006m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.75932049--0.75893699) × cos(-0.75057269) × R
    0.000383499999999981 × 0.731298381206282 × 6371000     		do = 1786.76561188603m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.75932049--0.75893699) × cos(-0.75085310) × R
    0.000383499999999981 × 0.731107096664076 × 6371000     		du = 1786.29825047667m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.75057269)-sin(-0.75085310))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.731298381206282-0.731107096664076)×R²
    abs(-0.75893699--0.75932049)×0.000191284542206183×R²
    0.000383499999999981×0.000191284542206183×6371000²
    0.000383499999999981×0.000191284542206183×40589641000000     		ar = 3191625.22023279m²