Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62115 / 76323
↖ ↑ ↗
← S 28.388984°
W  9.396057°		 ← 268.64 m → S 28.388984°
W  9.393311°		 →
↑
268.73 m
↓
↑
268.73 m
↓
S 28.391401°
W  9.396057°		 ← 268.63 m →
72 190 m²		 S 28.391401°
W  9.393311°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62115 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76323 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473903656005859 y=0.582302093505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473903656005859 × 217)
    floor (0.473903656005859 × 131072)
    floor (62115.5)     		tx = 62115
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582302093505859 × 217)
    floor (0.582302093505859 × 131072)
    floor (76323.5)     		ty = 76323
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62115 / 76323 ti = "17/62115/76323"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62115/76323.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62115 ÷ 217
    62115 ÷ 131072     		x = 0.473899841308594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76323 ÷ 217
    76323 ÷ 131072     		y = 0.582298278808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473899841308594 × 2 - 1) × π
    -0.0522003173828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16399213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582298278808594 × 2 - 1) × π
    -0.164596557617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.517095336201546
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16399213} λ = -0.16399213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.517095336201546))-π/2
    2×atan(0.59624994071966)-π/2
    2×0.53765754126274-π/2
    1.07531508252548-1.57079632675     		φ = -0.49548124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16399213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.396057°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49548124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.388984°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62115 KachelY 76323 -0.16399213 -0.49548124 -9.396057 -28.388984
    Oben rechts KachelX + 1 62116 KachelY 76323 -0.16394420 -0.49548124 -9.393311 -28.388984
    Unten links KachelX 62115 KachelY + 1 76324 -0.16399213 -0.49552342 -9.396057 -28.391401
    Unten rechts KachelX + 1 62116 KachelY + 1 76324 -0.16394420 -0.49552342 -9.393311 -28.391401
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49548124--0.49552342) × R
    4.21800000000028e-05 × 6371000     		dl = 268.728780000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49548124--0.49552342) × R
    4.21800000000028e-05 × 6371000     		dr = 268.728780000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16399213--0.16394420) × cos(-0.49548124) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.879740003716343 × 6371000     		do = 268.639193407039m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16399213--0.16394420) × cos(-0.49552342) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.8797199482388 × 6371000     		du = 268.633069225704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49548124)-sin(-0.49552342))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.879740003716343-0.8797199482388)×R²
    abs(-0.16394420--0.16399213)×2.0055477543246e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.0055477543246e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.0055477543246e-05×40589641000000     		ar = 72190.2598433556m²