Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62113 / 35041
↖ ↑ ↗
← N 63.897522°
W  9.401550°		 ← 134.38 m → N 63.897522°
W  9.398804°		 →
↑
134.36 m
↓
↑
134.36 m
↓
N 63.896314°
W  9.401550°		 ← 134.39 m →
18 056 m²		 N 63.896314°
W  9.398804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473888397216797 y=0.267345428466797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473888397216797 × 217)
    floor (0.473888397216797 × 131072)
    floor (62113.5)     		tx = 62113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267345428466797 × 217)
    floor (0.267345428466797 × 131072)
    floor (35041.5)     		ty = 35041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62113 / 35041 ti = "17/62113/35041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62113/35041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62113 ÷ 217
    62113 ÷ 131072     		x = 0.473884582519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35041 ÷ 217
    35041 ÷ 131072     		y = 0.267341613769531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473884582519531 × 2 - 1) × π
    -0.0522308349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16408801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267341613769531 × 2 - 1) × π
    0.465316772460938 × 3.1415926535     		Φ = 1.46183575391361
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16408801} λ = -0.16408801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46183575391361))-π/2
    2×atan(4.31387147036856)-π/2
    2×1.34300923831036-π/2
    2.68601847662072-1.57079632675     		φ = 1.11522215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16408801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.401550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11522215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.897522°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62113 KachelY 35041 -0.16408801 1.11522215 -9.401550 63.897522
    Oben rechts KachelX + 1 62114 KachelY 35041 -0.16404007 1.11522215 -9.398804 63.897522
    Unten links KachelX 62113 KachelY + 1 35042 -0.16408801 1.11520106 -9.401550 63.896314
    Unten rechts KachelX + 1 62114 KachelY + 1 35042 -0.16404007 1.11520106 -9.398804 63.896314
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11522215-1.11520106) × R
    2.10899999999459e-05 × 6371000     		dl = 134.364389999655m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11522215-1.11520106) × R
    2.10899999999459e-05 × 6371000     		dr = 134.364389999655m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16408801--0.16404007) × cos(1.11522215) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.43997800197491 × 6371000     		do = 134.380606836898m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16408801--0.16404007) × cos(1.11520106) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.439996940877402 × 6371000     		du = 134.386391265206m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11522215)-sin(1.11520106))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.43997800197491-0.439996940877402)×R²
    abs(-0.16404007--0.16408801)×1.89389024919384e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89389024919384e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89389024919384e-05×40589641000000     		ar = 18056.3568766108m²