Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62113 / 34399
↖ ↑ ↗
← N 64.662693°
W  9.401550°		 ← 130.71 m → N 64.662693°
W  9.398804°		 →
↑
130.67 m
↓
↑
130.67 m
↓
N 64.661518°
W  9.401550°		 ← 130.71 m →
17 080 m²		 N 64.661518°
W  9.398804°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34399 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473888397216797 y=0.262447357177734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473888397216797 × 217)
    floor (0.473888397216797 × 131072)
    floor (62113.5)     		tx = 62113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262447357177734 × 217)
    floor (0.262447357177734 × 131072)
    floor (34399.5)     		ty = 34399
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62113 / 34399 ti = "17/62113/34399"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62113/34399.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62113 ÷ 217
    62113 ÷ 131072     		x = 0.473884582519531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34399 ÷ 217
    34399 ÷ 131072     		y = 0.262443542480469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473884582519531 × 2 - 1) × π
    -0.0522308349609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16408801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262443542480469 × 2 - 1) × π
    0.475112915039062 × 3.1415926535     		Φ = 1.49261124346969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16408801} λ = -0.16408801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49261124346969))-π/2
    2×atan(4.44869699625075)-π/2
    2×1.34968660977351-π/2
    2.69937321954701-1.57079632675     		φ = 1.12857689
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16408801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.401550°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12857689 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.662693°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62113 KachelY 34399 -0.16408801 1.12857689 -9.401550 64.662693
    Oben rechts KachelX + 1 62114 KachelY 34399 -0.16404007 1.12857689 -9.398804 64.662693
    Unten links KachelX 62113 KachelY + 1 34400 -0.16408801 1.12855638 -9.401550 64.661518
    Unten rechts KachelX + 1 62114 KachelY + 1 34400 -0.16404007 1.12855638 -9.398804 64.661518
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12857689-1.12855638) × R
    2.05099999999181e-05 × 6371000     		dl = 130.669209999478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12857689-1.12855638) × R
    2.05099999999181e-05 × 6371000     		dr = 130.669209999478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16408801--0.16404007) × cos(1.12857689) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.42794645348192 × 6371000     		do = 130.705862235081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16408801--0.16404007) × cos(1.12855638) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.427964990413793 × 6371000     		du = 130.711523891215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12857689)-sin(1.12855638))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42794645348192-0.427964990413793)×R²
    abs(-0.16404007--0.16408801)×1.85369318728146e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85369318728146e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85369318728146e-05×40589641000000     		ar = 17079.601663275m²