Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62112 / 75361
↖ ↑ ↗
← S 26.039510°
W  9.404297°		 ← 274.37 m → S 26.039510°
W  9.401550°		 →
↑
274.40 m
↓
↑
274.40 m
↓
S 26.041977°
W  9.404297°		 ← 274.36 m →
75 285 m²		 S 26.041977°
W  9.401550°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62112 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 75361 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473880767822266 y=0.574962615966797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473880767822266 × 217)
    floor (0.473880767822266 × 131072)
    floor (62112.5)     		tx = 62112
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.574962615966797 × 217)
    floor (0.574962615966797 × 131072)
    floor (75361.5)     		ty = 75361
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62112 / 75361 ti = "17/62112/75361"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62112/75361.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62112 ÷ 217
    62112 ÷ 131072     		x = 0.473876953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 75361 ÷ 217
    75361 ÷ 131072     		y = 0.574958801269531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473876953125 × 2 - 1) × π
    -0.05224609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16413594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.574958801269531 × 2 - 1) × π
    -0.149917602539062 × 3.1415926535     		Φ = -0.470980038767052
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16413594} λ = -0.16413594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.470980038767052))-π/2
    2×atan(0.624390041882094)-π/2
    2×0.55816057352776-π/2
    1.11632114705552-1.57079632675     		φ = -0.45447518
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16413594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.404297°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.45447518 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -26.039510°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62112 KachelY 75361 -0.16413594 -0.45447518 -9.404297 -26.039510
    Oben rechts KachelX + 1 62113 KachelY 75361 -0.16408801 -0.45447518 -9.401550 -26.039510
    Unten links KachelX 62112 KachelY + 1 75362 -0.16413594 -0.45451825 -9.404297 -26.041977
    Unten rechts KachelX + 1 62113 KachelY + 1 75362 -0.16408801 -0.45451825 -9.401550 -26.041977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.45447518--0.45451825) × R
    4.30700000000339e-05 × 6371000     		dl = 274.398970000216m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.45447518--0.45451825) × R
    4.30700000000339e-05 × 6371000     		dr = 274.398970000216m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16413594--0.16408801) × cos(-0.45447518) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.898491543072781 × 6371000     		do = 274.365201530546m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16413594--0.16408801) × cos(-0.45451825) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.898472634904465 × 6371000     		du = 274.359427693885m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.45447518)-sin(-0.45451825))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.898491543072781-0.898472634904465)×R²
    abs(-0.16408801--0.16413594)×1.89081683161785e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.89081683161785e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.89081683161785e-05×40589641000000     		ar = 75284.736548151m²