Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62111 / 34402
↖ ↑ ↗
← N 64.659167°
W  9.407043°		 ← 130.72 m → N 64.659167°
W  9.404297°		 →
↑
130.73 m
↓
↑
130.73 m
↓
N 64.657991°
W  9.407043°		 ← 130.73 m →
17 090 m²		 N 64.657991°
W  9.404297°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34402 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473873138427734 y=0.262470245361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473873138427734 × 217)
    floor (0.473873138427734 × 131072)
    floor (62111.5)     		tx = 62111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262470245361328 × 217)
    floor (0.262470245361328 × 131072)
    floor (34402.5)     		ty = 34402
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62111 / 34402 ti = "17/62111/34402"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62111/34402.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62111 ÷ 217
    62111 ÷ 131072     		x = 0.473869323730469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34402 ÷ 217
    34402 ÷ 131072     		y = 0.262466430664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473869323730469 × 2 - 1) × π
    -0.0522613525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16418388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262466430664062 × 2 - 1) × π
    0.475067138671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.49246743277083
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16418388} λ = -0.16418388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49246743277083))-π/2
    2×atan(4.4480572720274)-π/2
    2×1.34965583613454-π/2
    2.69931167226909-1.57079632675     		φ = 1.12851535
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16418388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.407043°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12851535 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.659167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62111 KachelY 34402 -0.16418388 1.12851535 -9.407043 64.659167
    Oben rechts KachelX + 1 62112 KachelY 34402 -0.16413594 1.12851535 -9.404297 64.659167
    Unten links KachelX 62111 KachelY + 1 34403 -0.16418388 1.12849483 -9.407043 64.657991
    Unten rechts KachelX + 1 62112 KachelY + 1 34403 -0.16413594 1.12849483 -9.404297 64.657991
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12851535-1.12849483) × R
    2.05200000000794e-05 × 6371000     		dl = 130.732920000506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12851535-1.12849483) × R
    2.05200000000794e-05 × 6371000     		dr = 130.732920000506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16418388--0.16413594) × cos(1.12851535) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.428002072775225 × 6371000     		do = 130.722849798897m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16418388--0.16413594) × cos(1.12849483) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.428020618204593 × 6371000     		du = 130.728514050385m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12851535)-sin(1.12849483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428002072775225-0.428020618204593)×R²
    abs(-0.16413594--0.16418388)×1.85454293681331e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85454293681331e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85454293681331e-05×40589641000000     		ar = 17090.1501176803m²