Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62110 / 34400
↖ ↑ ↗
← N 64.661518°
W  9.409790°		 ← 130.71 m → N 64.661518°
W  9.407043°		 →
↑
130.73 m
↓
↑
130.73 m
↓
N 64.660342°
W  9.409790°		 ← 130.72 m →
17 089 m²		 N 64.660342°
W  9.407043°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34400 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473865509033203 y=0.262454986572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473865509033203 × 217)
    floor (0.473865509033203 × 131072)
    floor (62110.5)     		tx = 62110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262454986572266 × 217)
    floor (0.262454986572266 × 131072)
    floor (34400.5)     		ty = 34400
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62110 / 34400 ti = "17/62110/34400"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62110/34400.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62110 ÷ 217
    62110 ÷ 131072     		x = 0.473861694335938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34400 ÷ 217
    34400 ÷ 131072     		y = 0.262451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473861694335938 × 2 - 1) × π
    -0.052276611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16423182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262451171875 × 2 - 1) × π
    0.47509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.49256330657007
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16423182} λ = -0.16423182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.49256330657007))-π/2
    2×atan(4.44848374462075)-π/2
    2×1.34967635233827-π/2
    2.69935270467654-1.57079632675     		φ = 1.12855638
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16423182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.409790°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12855638 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.661518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62110 KachelY 34400 -0.16423182 1.12855638 -9.409790 64.661518
    Oben rechts KachelX + 1 62111 KachelY 34400 -0.16418388 1.12855638 -9.407043 64.661518
    Unten links KachelX 62110 KachelY + 1 34401 -0.16423182 1.12853586 -9.409790 64.660342
    Unten rechts KachelX + 1 62111 KachelY + 1 34401 -0.16418388 1.12853586 -9.407043 64.660342
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12855638-1.12853586) × R
    2.05200000000794e-05 × 6371000     		dl = 130.732920000506m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12855638-1.12853586) × R
    2.05200000000794e-05 × 6371000     		dr = 130.732920000506m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16423182--0.16418388) × cos(1.12855638) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.427964990413793 × 6371000     		do = 130.711523891215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16423182--0.16418388) × cos(1.12853586) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.427983536203503 × 6371000     		du = 130.717188252762m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12855638)-sin(1.12853586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427964990413793-0.427983536203503)×R²
    abs(-0.16418388--0.16423182)×1.85457897105556e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85457897105556e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85457897105556e-05×40589641000000     		ar = 17088.6694557485m²