Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62108 / 35059
↖ ↑ ↗
← N 63.875762°
W  9.415283°		 ← 134.48 m → N 63.875762°
W  9.412536°		 →
↑
134.49 m
↓
↑
134.49 m
↓
N 63.874553°
W  9.415283°		 ← 134.49 m →
18 087 m²		 N 63.874553°
W  9.412536°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62108 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35059 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473850250244141 y=0.267482757568359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473850250244141 × 217)
    floor (0.473850250244141 × 131072)
    floor (62108.5)     		tx = 62108
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267482757568359 × 217)
    floor (0.267482757568359 × 131072)
    floor (35059.5)     		ty = 35059
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62108 / 35059 ti = "17/62108/35059"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62108/35059.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62108 ÷ 217
    62108 ÷ 131072     		x = 0.473846435546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35059 ÷ 217
    35059 ÷ 131072     		y = 0.267478942871094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473846435546875 × 2 - 1) × π
    -0.05230712890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16432769
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267478942871094 × 2 - 1) × π
    0.465042114257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.46097288972045
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16432769} λ = -0.16432769}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46097288972045))-π/2
    2×atan(4.3101507905944)-π/2
    2×1.34281934412186-π/2
    2.68563868824372-1.57079632675     		φ = 1.11484236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16432769} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.415283°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11484236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.875762°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62108 KachelY 35059 -0.16432769 1.11484236 -9.415283 63.875762
    Oben rechts KachelX + 1 62109 KachelY 35059 -0.16427975 1.11484236 -9.412536 63.875762
    Unten links KachelX 62108 KachelY + 1 35060 -0.16432769 1.11482125 -9.415283 63.874553
    Unten rechts KachelX + 1 62109 KachelY + 1 35060 -0.16427975 1.11482125 -9.412536 63.874553
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11484236-1.11482125) × R
    2.11099999998243e-05 × 6371000     		dl = 134.491809998881m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11484236-1.11482125) × R
    2.11099999998243e-05 × 6371000     		dr = 134.491809998881m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16432769--0.16427975) × cos(1.11484236) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.440319024903007 × 6371000     		do = 134.484764017069m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16432769--0.16427975) × cos(1.11482125) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.440337978236576 × 6371000     		du = 134.490552853m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11484236)-sin(1.11482125))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440319024903007-0.440337978236576)×R²
    abs(-0.16427975--0.16432769)×1.8953333568994e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.8953333568994e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.8953333568994e-05×40589641000000     		ar = 18087.4886059301m²