Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62107 / 74407
↖ ↑ ↗
← S 23.662135°
W  9.418030°		 ← 279.75 m → S 23.662135°
W  9.415283°		 →
↑
279.69 m
↓
↑
279.69 m
↓
S 23.664651°
W  9.418030°		 ← 279.74 m →
78 241 m²		 S 23.664651°
W  9.415283°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62107 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74407 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473842620849609 y=0.567684173583984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473842620849609 × 217)
    floor (0.473842620849609 × 131072)
    floor (62107.5)     		tx = 62107
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567684173583984 × 217)
    floor (0.567684173583984 × 131072)
    floor (74407.5)     		ty = 74407
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62107 / 74407 ti = "17/62107/74407"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62107/74407.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62107 ÷ 217
    62107 ÷ 131072     		x = 0.473838806152344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74407 ÷ 217
    74407 ÷ 131072     		y = 0.567680358886719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473838806152344 × 2 - 1) × π
    -0.0523223876953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16437563
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567680358886719 × 2 - 1) × π
    -0.135360717773438 × 3.1415926535     		Φ = -0.425248236529518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16437563} λ = -0.16437563}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.425248236529518))-π/2
    2×atan(0.653607515728713)-π/2
    2×0.578907080766058-π/2
    1.15781416153212-1.57079632675     		φ = -0.41298217
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16437563} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.418030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41298217 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.662135°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62107 KachelY 74407 -0.16437563 -0.41298217 -9.418030 -23.662135
    Oben rechts KachelX + 1 62108 KachelY 74407 -0.16432769 -0.41298217 -9.415283 -23.662135
    Unten links KachelX 62107 KachelY + 1 74408 -0.16437563 -0.41302607 -9.418030 -23.664651
    Unten rechts KachelX + 1 62108 KachelY + 1 74408 -0.16432769 -0.41302607 -9.415283 -23.664651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41298217--0.41302607) × R
    4.39000000000411e-05 × 6371000     		dl = 279.686900000262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41298217--0.41302607) × R
    4.39000000000411e-05 × 6371000     		dr = 279.686900000262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16437563--0.16432769) × cos(-0.41298217) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.91592802566925 × 6371000     		do = 279.747995026748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16437563--0.16432769) × cos(-0.41302607) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.915910405848207 × 6371000     		du = 279.742613479867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41298217)-sin(-0.41302607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91592802566925-0.915910405848207)×R²
    abs(-0.16432769--0.16437563)×1.76198210437573e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.76198210437573e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.76198210437573e-05×40589641000000     		ar = 78241.0969488068m²