Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62106 / 74408
↖ ↑ ↗
← S 23.664651°
W  9.420777°		 ← 279.74 m → S 23.664651°
W  9.418030°		 →
↑
279.75 m
↓
↑
279.75 m
↓
S 23.667166°
W  9.420777°		 ← 279.74 m →
78 257 m²		 S 23.667166°
W  9.418030°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74408 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473834991455078 y=0.567691802978516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473834991455078 × 217)
    floor (0.473834991455078 × 131072)
    floor (62106.5)     		tx = 62106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567691802978516 × 217)
    floor (0.567691802978516 × 131072)
    floor (74408.5)     		ty = 74408
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62106 / 74408 ti = "17/62106/74408"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62106/74408.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62106 ÷ 217
    62106 ÷ 131072     		x = 0.473831176757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74408 ÷ 217
    74408 ÷ 131072     		y = 0.56768798828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473831176757812 × 2 - 1) × π
    -0.052337646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16442357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56768798828125 × 2 - 1) × π
    -0.1353759765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.425296173429138
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16442357} λ = -0.16442357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.425296173429138))-π/2
    2×atan(0.653576184561806)-π/2
    2×0.578885127602287-π/2
    1.15777025520457-1.57079632675     		φ = -0.41302607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16442357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.420777°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41302607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.664651°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62106 KachelY 74408 -0.16442357 -0.41302607 -9.420777 -23.664651
    Oben rechts KachelX + 1 62107 KachelY 74408 -0.16437563 -0.41302607 -9.418030 -23.664651
    Unten links KachelX 62106 KachelY + 1 74409 -0.16442357 -0.41306998 -9.420777 -23.667166
    Unten rechts KachelX + 1 62107 KachelY + 1 74409 -0.16437563 -0.41306998 -9.418030 -23.667166
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41302607--0.41306998) × R
    4.39099999999804e-05 × 6371000     		dl = 279.750609999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41302607--0.41306998) × R
    4.39099999999804e-05 × 6371000     		dr = 279.750609999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16442357--0.16437563) × cos(-0.41302607) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.915910405848207 × 6371000     		do = 279.742613479867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16442357--0.16437563) × cos(-0.41306998) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.915892780247781 × 6371000     		du = 279.737230167815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41302607)-sin(-0.41306998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915910405848207-0.915892780247781)×R²
    abs(-0.16437563--0.16442357)×1.76256004251751e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.76256004251751e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.76256004251751e-05×40589641000000     		ar = 78257.4137841402m²