Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62104 / 25495
↖ ↑ ↗
← N 73.309725°
W  9.426270°		 ← 87.72 m → N 73.309725°
W  9.423523°		 →
↑
87.66 m
↓
↑
87.66 m
↓
N 73.308936°
W  9.426270°		 ← 87.72 m →
7 690 m²		 N 73.308936°
W  9.423523°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25495 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473819732666016 y=0.194515228271484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473819732666016 × 217)
    floor (0.473819732666016 × 131072)
    floor (62104.5)     		tx = 62104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.194515228271484 × 217)
    floor (0.194515228271484 × 131072)
    floor (25495.5)     		ty = 25495
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62104 / 25495 ti = "17/62104/25495"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62104/25495.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62104 ÷ 217
    62104 ÷ 131072     		x = 0.47381591796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25495 ÷ 217
    25495 ÷ 131072     		y = 0.194511413574219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.47381591796875 × 2 - 1) × π
    -0.0523681640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16451944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.194511413574219 × 2 - 1) × π
    0.610977172851562 × 3.1415926535     		Φ = 1.91944139768667
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16451944} λ = -0.16451944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.91944139768667))-π/2
    2×atan(6.81714933010669)-π/2
    2×1.42514620073505-π/2
    2.8502924014701-1.57079632675     		φ = 1.27949607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16451944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.426270°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.27949607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 73.309725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62104 KachelY 25495 -0.16451944 1.27949607 -9.426270 73.309725
    Oben rechts KachelX + 1 62105 KachelY 25495 -0.16447150 1.27949607 -9.423523 73.309725
    Unten links KachelX 62104 KachelY + 1 25496 -0.16451944 1.27948231 -9.426270 73.308936
    Unten rechts KachelX + 1 62105 KachelY + 1 25496 -0.16447150 1.27948231 -9.423523 73.308936
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.27949607-1.27948231) × R
    1.37600000000848e-05 × 6371000     		dl = 87.6649600005404m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.27949607-1.27948231) × R
    1.37600000000848e-05 × 6371000     		dr = 87.6649600005404m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16451944--0.16447150) × cos(1.27949607) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.287197946138988 × 6371000     		do = 87.7176452259739m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16451944--0.16447150) × cos(1.27948231) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.287211126420258 × 6371000     		du = 87.721670823134m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.27949607)-sin(1.27948231))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.287197946138988-0.287211126420258)×R²
    abs(-0.16447150--0.16451944)×1.31802812695647e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.31802812695647e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.31802812695647e-05×40589641000000     		ar = 7689.94031226629m²