Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62103 / 39657
↖ ↑ ↗
← N 57.737883°
W  9.429016°		 ← 163.03 m → N 57.737883°
W  9.426270°		 →
↑
163.03 m
↓
↑
163.03 m
↓
N 57.736417°
W  9.429016°		 ← 163.04 m →
26 581 m²		 N 57.736417°
W  9.426270°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39657 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473812103271484 y=0.302562713623047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473812103271484 × 217)
    floor (0.473812103271484 × 131072)
    floor (62103.5)     		tx = 62103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302562713623047 × 217)
    floor (0.302562713623047 × 131072)
    floor (39657.5)     		ty = 39657
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62103 / 39657 ti = "17/62103/39657"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62103/39657.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62103 ÷ 217
    62103 ÷ 131072     		x = 0.473808288574219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39657 ÷ 217
    39657 ÷ 131072     		y = 0.302558898925781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473808288574219 × 2 - 1) × π
    -0.0523834228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16456738
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302558898925781 × 2 - 1) × π
    0.394882202148438 × 3.1415926535     		Φ = 1.24055902526743
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16456738} λ = -0.16456738}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24055902526743))-π/2
    2×atan(3.45754578006018)-π/2
    2×1.28925624781977-π/2
    2.57851249563953-1.57079632675     		φ = 1.00771617
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16456738} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.429016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00771617 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.737883°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62103 KachelY 39657 -0.16456738 1.00771617 -9.429016 57.737883
    Oben rechts KachelX + 1 62104 KachelY 39657 -0.16451944 1.00771617 -9.426270 57.737883
    Unten links KachelX 62103 KachelY + 1 39658 -0.16456738 1.00769058 -9.429016 57.736417
    Unten rechts KachelX + 1 62104 KachelY + 1 39658 -0.16451944 1.00769058 -9.426270 57.736417
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00771617-1.00769058) × R
    2.55899999999087e-05 × 6371000     		dl = 163.033889999419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00771617-1.00769058) × R
    2.55899999999087e-05 × 6371000     		dr = 163.033889999419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16456738--0.16451944) × cos(1.00771617) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.533793352604675 × 6371000     		do = 163.034229726446m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16456738--0.16451944) × cos(1.00769058) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.533814991716664 × 6371000     		du = 163.040838868238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00771617)-sin(1.00769058))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533793352604675-0.533814991716664)×R²
    abs(-0.16451944--0.16456738)×2.16391119887138e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.16391119887138e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.16391119887138e-05×40589641000000     		ar = 26580.6434339814m²