Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62101 / 74403
↖ ↑ ↗
← S 23.652072°
W  9.434509°		 ← 279.77 m → S 23.652072°
W  9.431763°		 →
↑
279.75 m
↓
↑
279.75 m
↓
S 23.654588°
W  9.434509°		 ← 279.76 m →
78 265 m²		 S 23.654588°
W  9.431763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74403 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473796844482422 y=0.567653656005859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473796844482422 × 217)
    floor (0.473796844482422 × 131072)
    floor (62101.5)     		tx = 62101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567653656005859 × 217)
    floor (0.567653656005859 × 131072)
    floor (74403.5)     		ty = 74403
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62101 / 74403 ti = "17/62101/74403"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62101/74403.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62101 ÷ 217
    62101 ÷ 131072     		x = 0.473793029785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74403 ÷ 217
    74403 ÷ 131072     		y = 0.567649841308594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473793029785156 × 2 - 1) × π
    -0.0524139404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16466325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567649841308594 × 2 - 1) × π
    -0.135299682617188 × 3.1415926535     		Φ = -0.425056488931038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16466325} λ = -0.16466325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.425056488931038))-π/2
    2×atan(0.65373285541661)-π/2
    2×0.578994897644435-π/2
    1.15798979528887-1.57079632675     		φ = -0.41280653
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16466325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.434509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41280653 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.652072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62101 KachelY 74403 -0.16466325 -0.41280653 -9.434509 -23.652072
    Oben rechts KachelX + 1 62102 KachelY 74403 -0.16461531 -0.41280653 -9.431763 -23.652072
    Unten links KachelX 62101 KachelY + 1 74404 -0.16466325 -0.41285044 -9.434509 -23.654588
    Unten rechts KachelX + 1 62102 KachelY + 1 74404 -0.16461531 -0.41285044 -9.431763 -23.654588
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41280653--0.41285044) × R
    4.39099999999804e-05 × 6371000     		dl = 279.750609999875m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41280653--0.41285044) × R
    4.39099999999804e-05 × 6371000     		dr = 279.750609999875m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16466325--0.16461531) × cos(-0.41280653) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.915998503348497 × 6371000     		do = 279.769520724248m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16466325--0.16461531) × cos(-0.41285044) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.915980886577789 × 6371000     		du = 279.764140109018m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41280653)-sin(-0.41285044))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915998503348497-0.915980886577789)×R²
    abs(-0.16461531--0.16466325)×1.76167707078845e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.76167707078845e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.76167707078845e-05×40589641000000     		ar = 78264.9414793747m²