Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62101 / 35004
↖ ↑ ↗
← N 63.942199°
W  9.434509°		 ← 134.17 m → N 63.942199°
W  9.431763°		 →
↑
134.17 m
↓
↑
134.17 m
↓
N 63.940992°
W  9.434509°		 ← 134.17 m →
18 002 m²		 N 63.940992°
W  9.431763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35004 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473796844482422 y=0.267063140869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473796844482422 × 217)
    floor (0.473796844482422 × 131072)
    floor (62101.5)     		tx = 62101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267063140869141 × 217)
    floor (0.267063140869141 × 131072)
    floor (35004.5)     		ty = 35004
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62101 / 35004 ti = "17/62101/35004"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62101/35004.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62101 ÷ 217
    62101 ÷ 131072     		x = 0.473793029785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35004 ÷ 217
    35004 ÷ 131072     		y = 0.267059326171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473793029785156 × 2 - 1) × π
    -0.0524139404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16466325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267059326171875 × 2 - 1) × π
    0.46588134765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.46360941919955
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16466325} λ = -0.16466325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46360941919955))-π/2
    2×atan(4.32152962393649)-π/2
    2×1.34339911455193-π/2
    2.68679822910386-1.57079632675     		φ = 1.11600190
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16466325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.434509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11600190 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.942199°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62101 KachelY 35004 -0.16466325 1.11600190 -9.434509 63.942199
    Oben rechts KachelX + 1 62102 KachelY 35004 -0.16461531 1.11600190 -9.431763 63.942199
    Unten links KachelX 62101 KachelY + 1 35005 -0.16466325 1.11598084 -9.434509 63.940992
    Unten rechts KachelX + 1 62102 KachelY + 1 35005 -0.16461531 1.11598084 -9.431763 63.940992
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11600190-1.11598084) × R
    2.10600000001282e-05 × 6371000     		dl = 134.173260000817m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11600190-1.11598084) × R
    2.10600000001282e-05 × 6371000     		dr = 134.173260000817m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16466325--0.16461531) × cos(1.11600190) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.439277646122658 × 6371000     		do = 134.166700132538m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16466325--0.16461531) × cos(1.11598084) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.439296565304691 × 6371000     		du = 134.172478537711m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11600190)-sin(1.11598084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.439277646122658-0.439296565304691)×R²
    abs(-0.16461531--0.16466325)×1.89191820331169e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.89191820331169e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.89191820331169e-05×40589641000000     		ar = 18001.9711946669m²