Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62101 / 28045
↖ ↑ ↗
← N 71.176237°
W  9.434509°		 ← 98.55 m → N 71.176237°
W  9.431763°		 →
↑
98.56 m
↓
↑
98.56 m
↓
N 71.175350°
W  9.434509°		 ← 98.55 m →
9 713 m²		 N 71.175350°
W  9.431763°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28045 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473796844482422 y=0.213970184326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473796844482422 × 217)
    floor (0.473796844482422 × 131072)
    floor (62101.5)     		tx = 62101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.213970184326172 × 217)
    floor (0.213970184326172 × 131072)
    floor (28045.5)     		ty = 28045
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62101 / 28045 ti = "17/62101/28045"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62101/28045.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62101 ÷ 217
    62101 ÷ 131072     		x = 0.473793029785156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28045 ÷ 217
    28045 ÷ 131072     		y = 0.213966369628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473793029785156 × 2 - 1) × π
    -0.0524139404296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16466325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.213966369628906 × 2 - 1) × π
    0.572067260742188 × 3.1415926535     		Φ = 1.79720230365553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16466325} λ = -0.16466325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.79720230365553))-π/2
    2×atan(6.03274604136523)-π/2
    2×1.40652800247305-π/2
    2.8130560049461-1.57079632675     		φ = 1.24225968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16466325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.434509°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24225968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.176237°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62101 KachelY 28045 -0.16466325 1.24225968 -9.434509 71.176237
    Oben rechts KachelX + 1 62102 KachelY 28045 -0.16461531 1.24225968 -9.431763 71.176237
    Unten links KachelX 62101 KachelY + 1 28046 -0.16466325 1.24224421 -9.434509 71.175350
    Unten rechts KachelX + 1 62102 KachelY + 1 28046 -0.16461531 1.24224421 -9.431763 71.175350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24225968-1.24224421) × R
    1.54700000001284e-05 × 6371000     		dl = 98.5593700008183m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24225968-1.24224421) × R
    1.54700000001284e-05 × 6371000     		dr = 98.5593700008183m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16466325--0.16461531) × cos(1.24225968) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.322658287840163 × 6371000     		do = 98.5481463307643m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16466325--0.16461531) × cos(1.24224421) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.322672930396645 × 6371000     		du = 98.5526185444132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24225968)-sin(1.24224421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322658287840163-0.322672930396645)×R²
    abs(-0.16461531--0.16466325)×1.46425564819253e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.46425564819253e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.46425564819253e-05×40589641000000     		ar = 9713.06360658887m²