Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62100 / 74414
↖ ↑ ↗
← S 23.679743°
W  9.437256°		 ← 279.71 m → S 23.679743°
W  9.434509°		 →
↑
279.69 m
↓
↑
279.69 m
↓
S 23.682259°
W  9.437256°		 ← 279.70 m →
78 231 m²		 S 23.682259°
W  9.434509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74414 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473789215087891 y=0.567737579345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473789215087891 × 217)
    floor (0.473789215087891 × 131072)
    floor (62100.5)     		tx = 62100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567737579345703 × 217)
    floor (0.567737579345703 × 131072)
    floor (74414.5)     		ty = 74414
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62100 / 74414 ti = "17/62100/74414"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62100/74414.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62100 ÷ 217
    62100 ÷ 131072     		x = 0.473785400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74414 ÷ 217
    74414 ÷ 131072     		y = 0.567733764648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473785400390625 × 2 - 1) × π
    -0.05242919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16471119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567733764648438 × 2 - 1) × π
    -0.135467529296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.425583794826859
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16471119} λ = -0.16471119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.425583794826859))-π/2
    2×atan(0.653388229097388)-π/2
    2×0.578753417491211-π/2
    1.15750683498242-1.57079632675     		φ = -0.41328949
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16471119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.437256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41328949 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.679743°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62100 KachelY 74414 -0.16471119 -0.41328949 -9.437256 -23.679743
    Oben rechts KachelX + 1 62101 KachelY 74414 -0.16466325 -0.41328949 -9.434509 -23.679743
    Unten links KachelX 62100 KachelY + 1 74415 -0.16471119 -0.41333339 -9.437256 -23.682259
    Unten rechts KachelX + 1 62101 KachelY + 1 74415 -0.16466325 -0.41333339 -9.434509 -23.682259
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41328949--0.41333339) × R
    4.39000000000411e-05 × 6371000     		dl = 279.686900000262m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41328949--0.41333339) × R
    4.39000000000411e-05 × 6371000     		dr = 279.686900000262m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16471119--0.16466325) × cos(-0.41328949) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.915804641822467 × 6371000     		do = 279.710310424041m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16471119--0.16466325) × cos(-0.41333339) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.915787009645271 × 6371000     		du = 279.704925103273m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41328949)-sin(-0.41333339))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915804641822467-0.915787009645271)×R²
    abs(-0.16466325--0.16471119)×1.76321771963028e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.76321771963028e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.76321771963028e-05×40589641000000     		ar = 78230.5565313236m²