Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62100 / 74404
↖ ↑ ↗
← S 23.654588°
W  9.437256°		 ← 279.76 m → S 23.654588°
W  9.434509°		 →
↑
279.75 m
↓
↑
279.75 m
↓
S 23.657104°
W  9.437256°		 ← 279.76 m →
78 263 m²		 S 23.657104°
W  9.434509°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74404 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473789215087891 y=0.567661285400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473789215087891 × 217)
    floor (0.473789215087891 × 131072)
    floor (62100.5)     		tx = 62100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567661285400391 × 217)
    floor (0.567661285400391 × 131072)
    floor (74404.5)     		ty = 74404
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62100 / 74404 ti = "17/62100/74404"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62100/74404.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62100 ÷ 217
    62100 ÷ 131072     		x = 0.473785400390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74404 ÷ 217
    74404 ÷ 131072     		y = 0.567657470703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473785400390625 × 2 - 1) × π
    -0.05242919921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16471119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567657470703125 × 2 - 1) × π
    -0.13531494140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.425104425830658
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16471119} λ = -0.16471119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.425104425830658))-π/2
    2×atan(0.653701518241451)-π/2
    2×0.578972942791415-π/2
    1.15794588558283-1.57079632675     		φ = -0.41285044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16471119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.437256°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41285044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.654588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62100 KachelY 74404 -0.16471119 -0.41285044 -9.437256 -23.654588
    Oben rechts KachelX + 1 62101 KachelY 74404 -0.16466325 -0.41285044 -9.434509 -23.654588
    Unten links KachelX 62100 KachelY + 1 74405 -0.16471119 -0.41289435 -9.437256 -23.657104
    Unten rechts KachelX + 1 62101 KachelY + 1 74405 -0.16466325 -0.41289435 -9.434509 -23.657104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41285044--0.41289435) × R
    4.39100000000359e-05 × 6371000     		dl = 279.750610000229m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41285044--0.41289435) × R
    4.39100000000359e-05 × 6371000     		dr = 279.750610000229m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16471119--0.16466325) × cos(-0.41285044) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.915980886577789 × 6371000     		do = 279.764140108856m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16471119--0.16466325) × cos(-0.41289435) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.915963268040989 × 6371000     		du = 279.758758954216m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41285044)-sin(-0.41289435))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915980886577789-0.915963268040989)×R²
    abs(-0.16466325--0.16471119)×1.76185367997128e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.76185367997128e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.76185367997128e-05×40589641000000     		ar = 78263.4361735658m²