Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 621 / 509
↖ ↑ ↗
← N 66.722541°
W 70.839844°		 ← 7 724.28 m → N 66.722541°
W 70.664062°		 →
↑
7 735.16 m
↓
↑
7 735.16 m
↓
N 66.652977°
W 70.839844°		 ← 7 746.08 m →
59 832 856 m²		 N 66.652977°
W 70.664062°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 621 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 509 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.303466796875 y=0.248779296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.303466796875 × 211)
    floor (0.303466796875 × 2048)
    floor (621.5)     		tx = 621
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.248779296875 × 211)
    floor (0.248779296875 × 2048)
    floor (509.5)     		ty = 509
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 621 / 509 ti = "11/621/509"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/621/509.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 621 ÷ 211
    621 ÷ 2048     		x = 0.30322265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 509 ÷ 211
    509 ÷ 2048     		y = 0.24853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.30322265625 × 2 - 1) × π
    -0.3935546875 × 3.1415926535     		Λ = -1.23638852
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24853515625 × 2 - 1) × π
    0.5029296875 × 3.1415926535     		Φ = 1.58000021147705
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.23638852} λ = -1.23638852}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.58000021147705))-π/2
    2×atan(4.85495683794928)-π/2
    2×1.36766217907813-π/2
    2.73532435815625-1.57079632675     		φ = 1.16452803
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.23638852} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -70.839844°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.16452803 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 66.722541°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 621 KachelY 509 -1.23638852 1.16452803 -70.839844 66.722541
    Oben rechts KachelX + 1 622 KachelY 509 -1.23332055 1.16452803 -70.664062 66.722541
    Unten links KachelX 621 KachelY + 1 510 -1.23638852 1.16331391 -70.839844 66.652977
    Unten rechts KachelX + 1 622 KachelY + 1 510 -1.23332055 1.16331391 -70.664062 66.652977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.16452803-1.16331391) × R
    0.00121411999999999 × 6371000     		dl = 7735.15851999991m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.16452803-1.16331391) × R
    0.00121411999999999 × 6371000     		dr = 7735.15851999991m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.23638852--1.23332055) × cos(1.16452803) × R
    0.00306797000000003 × 0.395184137778101 × 6371000     		do = 7724.28372745001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.23638852--1.23332055) × cos(1.16331391) × R
    0.00306797000000003 × 0.396299139205757 × 6371000     		du = 7746.07758646507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.16452803)-sin(1.16331391))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.395184137778101-0.396299139205757)×R²
    abs(-1.23332055--1.23638852)×0.0011150014276558×R²
    0.00306797000000003×0.0011150014276558×6371000²
    0.00306797000000003×0.0011150014276558×40589641000000     		ar = 59832855.9123205m²