Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62098 / 74413
↖ ↑ ↗
← S 23.677228°
W  9.442749°		 ← 279.72 m → S 23.677228°
W  9.440002°		 →
↑
279.69 m
↓
↑
279.69 m
↓
S 23.679743°
W  9.442749°		 ← 279.71 m →
78 232 m²		 S 23.679743°
W  9.440002°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74413 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473773956298828 y=0.567729949951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473773956298828 × 217)
    floor (0.473773956298828 × 131072)
    floor (62098.5)     		tx = 62098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567729949951172 × 217)
    floor (0.567729949951172 × 131072)
    floor (74413.5)     		ty = 74413
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62098 / 74413 ti = "17/62098/74413"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62098/74413.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62098 ÷ 217
    62098 ÷ 131072     		x = 0.473770141601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74413 ÷ 217
    74413 ÷ 131072     		y = 0.567726135253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473770141601562 × 2 - 1) × π
    -0.052459716796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16480706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567726135253906 × 2 - 1) × π
    -0.135452270507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.425535857927238
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16480706} λ = -0.16480706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.425535857927238))-π/2
    2×atan(0.653419551254076)-π/2
    2×0.578775368120082-π/2
    1.15755073624016-1.57079632675     		φ = -0.41324559
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16480706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.442749°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41324559 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.677228°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62098 KachelY 74413 -0.16480706 -0.41324559 -9.442749 -23.677228
    Oben rechts KachelX + 1 62099 KachelY 74413 -0.16475912 -0.41324559 -9.440002 -23.677228
    Unten links KachelX 62098 KachelY + 1 74414 -0.16480706 -0.41328949 -9.442749 -23.679743
    Unten rechts KachelX + 1 62099 KachelY + 1 74414 -0.16475912 -0.41328949 -9.440002 -23.679743
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41324559--0.41328949) × R
    4.38999999999856e-05 × 6371000     		dl = 279.686899999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41324559--0.41328949) × R
    4.38999999999856e-05 × 6371000     		dr = 279.686899999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16480706--0.16475912) × cos(-0.41324559) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.915822272234716 × 6371000     		do = 279.715695205748m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16480706--0.16475912) × cos(-0.41328949) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.915804641822467 × 6371000     		du = 279.710310424041m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41324559)-sin(-0.41328949))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915822272234716-0.915804641822467)×R²
    abs(-0.16475912--0.16480706)×1.76304122485593e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.76304122485593e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.76304122485593e-05×40589641000000     		ar = 78232.0626595312m²