Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62095 / 74423
↖ ↑ ↗
← S 23.702380°
W  9.450989°		 ← 279.66 m → S 23.702380°
W  9.448242°		 →
↑
279.62 m
↓
↑
279.62 m
↓
S 23.704895°
W  9.450989°		 ← 279.66 m →
78 199 m²		 S 23.704895°
W  9.448242°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473751068115234 y=0.567806243896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473751068115234 × 217)
    floor (0.473751068115234 × 131072)
    floor (62095.5)     		tx = 62095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567806243896484 × 217)
    floor (0.567806243896484 × 131072)
    floor (74423.5)     		ty = 74423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62095 / 74423 ti = "17/62095/74423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62095/74423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62095 ÷ 217
    62095 ÷ 131072     		x = 0.473747253417969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74423 ÷ 217
    74423 ÷ 131072     		y = 0.567802429199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473747253417969 × 2 - 1) × π
    -0.0525054931640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16495087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567802429199219 × 2 - 1) × π
    -0.135604858398438 × 3.1415926535     		Φ = -0.426015226923439
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16495087} λ = -0.16495087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.426015226923439))-π/2
    2×atan(0.653106397243852)-π/2
    2×0.578555880852593-π/2
    1.15711176170519-1.57079632675     		φ = -0.41368457
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16495087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.450989°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41368457 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.702380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62095 KachelY 74423 -0.16495087 -0.41368457 -9.450989 -23.702380
    Oben rechts KachelX + 1 62096 KachelY 74423 -0.16490293 -0.41368457 -9.448242 -23.702380
    Unten links KachelX 62095 KachelY + 1 74424 -0.16495087 -0.41372846 -9.450989 -23.704895
    Unten rechts KachelX + 1 62096 KachelY + 1 74424 -0.16490293 -0.41372846 -9.448242 -23.704895
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41368457--0.41372846) × R
    4.38900000000464e-05 × 6371000     		dl = 279.623190000296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41368457--0.41372846) × R
    4.38900000000464e-05 × 6371000     		dr = 279.623190000296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16495087--0.16490293) × cos(-0.41368457) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.915645896733372 × 6371000     		do = 279.661825587732m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16495087--0.16490293) × cos(-0.41372846) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.915628252694238 × 6371000     		du = 279.656436644023m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41368457)-sin(-0.41372846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915645896733372-0.915628252694238)×R²
    abs(-0.16490293--0.16495087)×1.76440391336241e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.76440391336241e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.76440391336241e-05×40589641000000     		ar = 78199.1783678987m²