Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62094 / 39658
↖ ↑ ↗
← N 57.736417°
W  9.453735°		 ← 163.04 m → N 57.736417°
W  9.450989°		 →
↑
163.03 m
↓
↑
163.03 m
↓
N 57.734951°
W  9.453735°		 ← 163.05 m →
26 582 m²		 N 57.734951°
W  9.450989°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473743438720703 y=0.302570343017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473743438720703 × 217)
    floor (0.473743438720703 × 131072)
    floor (62094.5)     		tx = 62094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.302570343017578 × 217)
    floor (0.302570343017578 × 131072)
    floor (39658.5)     		ty = 39658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62094 / 39658 ti = "17/62094/39658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62094/39658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62094 ÷ 217
    62094 ÷ 131072     		x = 0.473739624023438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39658 ÷ 217
    39658 ÷ 131072     		y = 0.302566528320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473739624023438 × 2 - 1) × π
    -0.052520751953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16499881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.302566528320312 × 2 - 1) × π
    0.394866943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.24051108836781
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16499881} λ = -0.16499881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.24051108836781))-π/2
    2×atan(3.45738004000775)-π/2
    2×1.28924345336125-π/2
    2.57848690672249-1.57079632675     		φ = 1.00769058
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16499881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.453735°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.00769058 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 57.736417°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62094 KachelY 39658 -0.16499881 1.00769058 -9.453735 57.736417
    Oben rechts KachelX + 1 62095 KachelY 39658 -0.16495087 1.00769058 -9.450989 57.736417
    Unten links KachelX 62094 KachelY + 1 39659 -0.16499881 1.00766499 -9.453735 57.734951
    Unten rechts KachelX + 1 62095 KachelY + 1 39659 -0.16495087 1.00766499 -9.450989 57.734951
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.00769058-1.00766499) × R
    2.55899999999087e-05 × 6371000     		dl = 163.033889999419m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.00769058-1.00766499) × R
    2.55899999999087e-05 × 6371000     		dr = 163.033889999419m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16499881--0.16495087) × cos(1.00769058) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.533814991716664 × 6371000     		do = 163.040838868143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16499881--0.16495087) × cos(1.00766499) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.533836630479085 × 6371000     		du = 163.047447903169m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.00769058)-sin(1.00766499))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.533814991716664-0.533836630479085)×R²
    abs(-0.16495087--0.16499881)×2.16387624211167e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.16387624211167e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.16387624211167e-05×40589641000000     		ar = 26581.720939111m²