Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62092 / 74636
↖ ↑ ↗
← S 24.236947°
W  9.459228°		 ← 278.45 m → S 24.236947°
W  9.456482°		 →
↑
278.48 m
↓
↑
278.48 m
↓
S 24.239452°
W  9.459228°		 ← 278.44 m →
77 540 m²		 S 24.239452°
W  9.456482°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74636 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473728179931641 y=0.569431304931641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473728179931641 × 217)
    floor (0.473728179931641 × 131072)
    floor (62092.5)     		tx = 62092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.569431304931641 × 217)
    floor (0.569431304931641 × 131072)
    floor (74636.5)     		ty = 74636
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62092 / 74636 ti = "17/62092/74636"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62092/74636.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62092 ÷ 217
    62092 ÷ 131072     		x = 0.473724365234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74636 ÷ 217
    74636 ÷ 131072     		y = 0.569427490234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473724365234375 × 2 - 1) × π
    -0.05255126953125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16509468
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.569427490234375 × 2 - 1) × π
    -0.13885498046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.436225786542511
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16509468} λ = -0.16509468}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.436225786542511))-π/2
    2×atan(0.646471744835678)-π/2
    2×0.573890900478265-π/2
    1.14778180095653-1.57079632675     		φ = -0.42301453
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16509468} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.459228°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42301453 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.236947°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62092 KachelY 74636 -0.16509468 -0.42301453 -9.459228 -24.236947
    Oben rechts KachelX + 1 62093 KachelY 74636 -0.16504675 -0.42301453 -9.456482 -24.236947
    Unten links KachelX 62092 KachelY + 1 74637 -0.16509468 -0.42305824 -9.459228 -24.239452
    Unten rechts KachelX + 1 62093 KachelY + 1 74637 -0.16504675 -0.42305824 -9.456482 -24.239452
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42301453--0.42305824) × R
    4.37099999999746e-05 × 6371000     		dl = 278.476409999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42301453--0.42305824) × R
    4.37099999999746e-05 × 6371000     		dr = 278.476409999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16509468--0.16504675) × cos(-0.42301453) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.911855587260436 × 6371000     		do = 278.446073192698m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16509468--0.16504675) × cos(-0.42305824) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.911837642947863 × 6371000     		du = 278.440593680984m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42301453)-sin(-0.42305824))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911855587260436-0.911837642947863)×R²
    abs(-0.16504675--0.16509468)×1.79443125727374e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.79443125727374e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.79443125727374e-05×40589641000000     		ar = 77539.8998962135m²