Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62091 / 74635
↖ ↑ ↗
← S 24.234442°
W  9.461975°		 ← 278.51 m → S 24.234442°
W  9.459228°		 →
↑
278.54 m
↓
↑
278.54 m
↓
S 24.236947°
W  9.461975°		 ← 278.50 m →
77 575 m²		 S 24.236947°
W  9.459228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473720550537109 y=0.569423675537109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473720550537109 × 217)
    floor (0.473720550537109 × 131072)
    floor (62091.5)     		tx = 62091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.569423675537109 × 217)
    floor (0.569423675537109 × 131072)
    floor (74635.5)     		ty = 74635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62091 / 74635 ti = "17/62091/74635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62091/74635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62091 ÷ 217
    62091 ÷ 131072     		x = 0.473716735839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74635 ÷ 217
    74635 ÷ 131072     		y = 0.569419860839844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473716735839844 × 2 - 1) × π
    -0.0525665283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16514262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.569419860839844 × 2 - 1) × π
    -0.138839721679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.436177849642891
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16514262} λ = -0.16514262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.436177849642891))-π/2
    2×atan(0.646502735429608)-π/2
    2×0.573912756458224-π/2
    1.14782551291645-1.57079632675     		φ = -0.42297081
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16514262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.461975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42297081 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.234442°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62091 KachelY 74635 -0.16514262 -0.42297081 -9.461975 -24.234442
    Oben rechts KachelX + 1 62092 KachelY 74635 -0.16509468 -0.42297081 -9.459228 -24.234442
    Unten links KachelX 62091 KachelY + 1 74636 -0.16514262 -0.42301453 -9.461975 -24.236947
    Unten rechts KachelX + 1 62092 KachelY + 1 74636 -0.16509468 -0.42301453 -9.459228 -24.236947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42297081--0.42301453) × R
    4.37200000000249e-05 × 6371000     		dl = 278.540120000158m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42297081--0.42301453) × R
    4.37200000000249e-05 × 6371000     		dr = 278.540120000158m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16514262--0.16509468) × cos(-0.42297081) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.911873533935563 × 6371000     		do = 278.509648888663m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16514262--0.16509468) × cos(-0.42301453) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.911855587260436 × 6371000     		du = 278.504167512132m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42297081)-sin(-0.42301453))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911873533935563-0.911855587260436)×R²
    abs(-0.16509468--0.16514262)×1.79466751267787e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.79466751267787e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.79466751267787e-05×40589641000000     		ar = 77575.3476433005m²