Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62091 / 74585
↖ ↑ ↗
← S 24.109154°
W  9.461975°		 ← 278.78 m → S 24.109154°
W  9.459228°		 →
↑
278.79 m
↓
↑
278.79 m
↓
S 24.111661°
W  9.461975°		 ← 278.78 m →
77 723 m²		 S 24.111661°
W  9.459228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74585 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473720550537109 y=0.569042205810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473720550537109 × 217)
    floor (0.473720550537109 × 131072)
    floor (62091.5)     		tx = 62091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.569042205810547 × 217)
    floor (0.569042205810547 × 131072)
    floor (74585.5)     		ty = 74585
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62091 / 74585 ti = "17/62091/74585"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62091/74585.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62091 ÷ 217
    62091 ÷ 131072     		x = 0.473716735839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74585 ÷ 217
    74585 ÷ 131072     		y = 0.569038391113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473716735839844 × 2 - 1) × π
    -0.0525665283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16514262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.569038391113281 × 2 - 1) × π
    -0.138076782226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.433781004661888
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16514262} λ = -0.16514262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.433781004661888))-π/2
    2×atan(0.64805416078654)-π/2
    2×0.575006103085883-π/2
    1.15001220617177-1.57079632675     		φ = -0.42078412
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16514262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.461975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42078412 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.109154°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62091 KachelY 74585 -0.16514262 -0.42078412 -9.461975 -24.109154
    Oben rechts KachelX + 1 62092 KachelY 74585 -0.16509468 -0.42078412 -9.459228 -24.109154
    Unten links KachelX 62091 KachelY + 1 74586 -0.16514262 -0.42082788 -9.461975 -24.111661
    Unten rechts KachelX + 1 62092 KachelY + 1 74586 -0.16509468 -0.42082788 -9.459228 -24.111661
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42078412--0.42082788) × R
    4.37600000000038e-05 × 6371000     		dl = 278.794960000024m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42078412--0.42082788) × R
    4.37600000000038e-05 × 6371000     		dr = 278.794960000024m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16514262--0.16509468) × cos(-0.42078412) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.912768926514926 × 6371000     		do = 278.783124829806m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16514262--0.16509468) × cos(-0.42082788) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.912751050718143 × 6371000     		du = 278.777665101345m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42078412)-sin(-0.42082788))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912768926514926-0.912751050718143)×R²
    abs(-0.16509468--0.16514262)×1.7875796783362e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.7875796783362e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.7875796783362e-05×40589641000000     		ar = 77722.5690756439m²