Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62091 / 74427
↖ ↑ ↗
← S 23.712439°
W  9.461975°		 ← 279.64 m → S 23.712439°
W  9.459228°		 →
↑
279.62 m
↓
↑
279.62 m
↓
S 23.714953°
W  9.461975°		 ← 279.63 m →
78 193 m²		 S 23.714953°
W  9.459228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473720550537109 y=0.567836761474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473720550537109 × 217)
    floor (0.473720550537109 × 131072)
    floor (62091.5)     		tx = 62091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567836761474609 × 217)
    floor (0.567836761474609 × 131072)
    floor (74427.5)     		ty = 74427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62091 / 74427 ti = "17/62091/74427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62091/74427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62091 ÷ 217
    62091 ÷ 131072     		x = 0.473716735839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74427 ÷ 217
    74427 ÷ 131072     		y = 0.567832946777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473716735839844 × 2 - 1) × π
    -0.0525665283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16514262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567832946777344 × 2 - 1) × π
    -0.135665893554688 × 3.1415926535     		Φ = -0.426206974521919
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16514262} λ = -0.16514262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.426206974521919))-π/2
    2×atan(0.652981177666289)-π/2
    2×0.578468097785171-π/2
    1.15693619557034-1.57079632675     		φ = -0.41386013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16514262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.461975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41386013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.712439°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62091 KachelY 74427 -0.16514262 -0.41386013 -9.461975 -23.712439
    Oben rechts KachelX + 1 62092 KachelY 74427 -0.16509468 -0.41386013 -9.459228 -23.712439
    Unten links KachelX 62091 KachelY + 1 74428 -0.16514262 -0.41390402 -9.461975 -23.714953
    Unten rechts KachelX + 1 62092 KachelY + 1 74428 -0.16509468 -0.41390402 -9.459228 -23.714953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41386013--0.41390402) × R
    4.38899999999909e-05 × 6371000     		dl = 279.623189999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41386013--0.41390402) × R
    4.38899999999909e-05 × 6371000     		dr = 279.623189999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16514262--0.16509468) × cos(-0.41386013) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.915575309994149 × 6371000     		do = 279.640266580671m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16514262--0.16509468) × cos(-0.41390402) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.915557658900003 × 6371000     		du = 279.634875482179m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41386013)-sin(-0.41390402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915575309994149-0.915557658900003)×R²
    abs(-0.16509468--0.16514262)×1.76510941460872e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.76510941460872e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.76510941460872e-05×40589641000000     		ar = 78193.1496682082m²