Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62091 / 74365
↖ ↑ ↗
← S 23.556434°
W  9.461975°		 ← 279.97 m → S 23.556434°
W  9.459228°		 →
↑
279.94 m
↓
↑
279.94 m
↓
S 23.558952°
W  9.461975°		 ← 279.97 m →
78 376 m²		 S 23.558952°
W  9.459228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74365 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473720550537109 y=0.567363739013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473720550537109 × 217)
    floor (0.473720550537109 × 131072)
    floor (62091.5)     		tx = 62091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567363739013672 × 217)
    floor (0.567363739013672 × 131072)
    floor (74365.5)     		ty = 74365
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62091 / 74365 ti = "17/62091/74365"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62091/74365.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62091 ÷ 217
    62091 ÷ 131072     		x = 0.473716735839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74365 ÷ 217
    74365 ÷ 131072     		y = 0.567359924316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473716735839844 × 2 - 1) × π
    -0.0525665283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16514262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567359924316406 × 2 - 1) × π
    -0.134719848632812 × 3.1415926535     		Φ = -0.423234886745476
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16514262} λ = -0.16514262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.423234886745476))-π/2
    2×atan(0.654924781893157)-π/2
    2×0.579829494616221-π/2
    1.15965898923244-1.57079632675     		φ = -0.41113734
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16514262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.461975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41113734 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.556434°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62091 KachelY 74365 -0.16514262 -0.41113734 -9.461975 -23.556434
    Oben rechts KachelX + 1 62092 KachelY 74365 -0.16509468 -0.41113734 -9.459228 -23.556434
    Unten links KachelX 62091 KachelY + 1 74366 -0.16514262 -0.41118128 -9.461975 -23.558952
    Unten rechts KachelX + 1 62092 KachelY + 1 74366 -0.16509468 -0.41118128 -9.459228 -23.558952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41113734--0.41118128) × R
    4.39399999999646e-05 × 6371000     		dl = 279.941739999774m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41113734--0.41118128) × R
    4.39399999999646e-05 × 6371000     		dr = 279.941739999774m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16514262--0.16509468) × cos(-0.41113734) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.91666687541404 × 6371000     		do = 279.973658756799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16514262--0.16509468) × cos(-0.41118128) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.916649313813741 × 6371000     		du = 279.968294992033m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41113734)-sin(-0.41118128))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91666687541404-0.916649313813741)×R²
    abs(-0.16509468--0.16514262)×1.75616002990875e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.75616002990875e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.75616002990875e-05×40589641000000     		ar = 78375.5624282374m²