Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62091 / 35067
↖ ↑ ↗
← N 63.866085°
W  9.461975°		 ← 134.53 m → N 63.866085°
W  9.459228°		 →
↑
134.49 m
↓
↑
134.49 m
↓
N 63.864876°
W  9.461975°		 ← 134.54 m →
18 094 m²		 N 63.864876°
W  9.459228°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35067 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473720550537109 y=0.267543792724609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473720550537109 × 217)
    floor (0.473720550537109 × 131072)
    floor (62091.5)     		tx = 62091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267543792724609 × 217)
    floor (0.267543792724609 × 131072)
    floor (35067.5)     		ty = 35067
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62091 / 35067 ti = "17/62091/35067"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62091/35067.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62091 ÷ 217
    62091 ÷ 131072     		x = 0.473716735839844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35067 ÷ 217
    35067 ÷ 131072     		y = 0.267539978027344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473716735839844 × 2 - 1) × π
    -0.0525665283203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16514262
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267539978027344 × 2 - 1) × π
    0.464920043945312 × 3.1415926535     		Φ = 1.46058939452349
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16514262} λ = -0.16514262}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46058939452349))-π/2
    2×atan(4.30849818537137)-π/2
    2×1.34273489946986-π/2
    2.68546979893971-1.57079632675     		φ = 1.11467347
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16514262} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.461975°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11467347 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.866085°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62091 KachelY 35067 -0.16514262 1.11467347 -9.461975 63.866085
    Oben rechts KachelX + 1 62092 KachelY 35067 -0.16509468 1.11467347 -9.459228 63.866085
    Unten links KachelX 62091 KachelY + 1 35068 -0.16514262 1.11465236 -9.461975 63.864876
    Unten rechts KachelX + 1 62092 KachelY + 1 35068 -0.16509468 1.11465236 -9.459228 63.864876
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11467347-1.11465236) × R
    2.11100000000464e-05 × 6371000     		dl = 134.491810000295m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11467347-1.11465236) × R
    2.11100000000464e-05 × 6371000     		dr = 134.491810000295m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16514262--0.16509468) × cos(1.11467347) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.440470655054353 × 6371000     		do = 134.53107576825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16514262--0.16509468) × cos(1.11465236) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.440489606817763 × 6371000     		du = 134.536864124614m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11467347)-sin(1.11465236))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440470655054353-0.440489606817763)×R²
    abs(-0.16509468--0.16514262)×1.89517634098246e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89517634098246e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89517634098246e-05×40589641000000     		ar = 18093.7171252757m²