Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62090 / 74586
↖ ↑ ↗
← S 24.111661°
W  9.464722°		 ← 278.78 m → S 24.111661°
W  9.461975°		 →
↑
278.73 m
↓
↑
278.73 m
↓
S 24.114168°
W  9.464722°		 ← 278.77 m →
77 703 m²		 S 24.114168°
W  9.461975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473712921142578 y=0.569049835205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473712921142578 × 217)
    floor (0.473712921142578 × 131072)
    floor (62090.5)     		tx = 62090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.569049835205078 × 217)
    floor (0.569049835205078 × 131072)
    floor (74586.5)     		ty = 74586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62090 / 74586 ti = "17/62090/74586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62090/74586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62090 ÷ 217
    62090 ÷ 131072     		x = 0.473709106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74586 ÷ 217
    74586 ÷ 131072     		y = 0.569046020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473709106445312 × 2 - 1) × π
    -0.052581787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16519056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.569046020507812 × 2 - 1) × π
    -0.138092041015625 × 3.1415926535     		Φ = -0.433828941561508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16519056} λ = -0.16519056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.433828941561508))-π/2
    2×atan(0.648023095823871)-π/2
    2×0.574984225643886-π/2
    1.14996845128777-1.57079632675     		φ = -0.42082788
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16519056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.464722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.42082788 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -24.111661°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62090 KachelY 74586 -0.16519056 -0.42082788 -9.464722 -24.111661
    Oben rechts KachelX + 1 62091 KachelY 74586 -0.16514262 -0.42082788 -9.461975 -24.111661
    Unten links KachelX 62090 KachelY + 1 74587 -0.16519056 -0.42087163 -9.464722 -24.114168
    Unten rechts KachelX + 1 62091 KachelY + 1 74587 -0.16514262 -0.42087163 -9.461975 -24.114168
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.42082788--0.42087163) × R
    4.37500000000091e-05 × 6371000     		dl = 278.731250000058m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.42082788--0.42087163) × R
    4.37500000000091e-05 × 6371000     		dr = 278.731250000058m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16519056--0.16514262) × cos(-0.42082788) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.912751050718143 × 6371000     		do = 278.777665101345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16519056--0.16514262) × cos(-0.42087163) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.91273317725906 × 6371000     		du = 278.772206086878m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.42082788)-sin(-0.42087163))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912751050718143-0.91273317725906)×R²
    abs(-0.16514262--0.16519056)×1.78734590827734e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.78734590827734e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.78734590827734e-05×40589641000000     		ar = 77703.2862791546m²