Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62090 / 35068
↖ ↑ ↗
← N 63.864876°
W  9.464722°		 ← 134.54 m → N 63.864876°
W  9.461975°		 →
↑
134.56 m
↓
↑
134.56 m
↓
N 63.863666°
W  9.464722°		 ← 134.54 m →
18 103 m²		 N 63.863666°
W  9.461975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 35068 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473712921142578 y=0.267551422119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473712921142578 × 217)
    floor (0.473712921142578 × 131072)
    floor (62090.5)     		tx = 62090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.267551422119141 × 217)
    floor (0.267551422119141 × 131072)
    floor (35068.5)     		ty = 35068
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62090 / 35068 ti = "17/62090/35068"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62090/35068.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62090 ÷ 217
    62090 ÷ 131072     		x = 0.473709106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 35068 ÷ 217
    35068 ÷ 131072     		y = 0.267547607421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473709106445312 × 2 - 1) × π
    -0.052581787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16519056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.267547607421875 × 2 - 1) × π
    0.46490478515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.46054145762387
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16519056} λ = -0.16519056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.46054145762387))-π/2
    2×atan(4.30829165427661)-π/2
    2×1.34272434184394-π/2
    2.68544868368787-1.57079632675     		φ = 1.11465236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16519056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.464722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.11465236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.864876°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62090 KachelY 35068 -0.16519056 1.11465236 -9.464722 63.864876
    Oben rechts KachelX + 1 62091 KachelY 35068 -0.16514262 1.11465236 -9.461975 63.864876
    Unten links KachelX 62090 KachelY + 1 35069 -0.16519056 1.11463124 -9.464722 63.863666
    Unten rechts KachelX + 1 62091 KachelY + 1 35069 -0.16514262 1.11463124 -9.461975 63.863666
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.11465236-1.11463124) × R
    2.11199999999856e-05 × 6371000     		dl = 134.555519999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.11465236-1.11463124) × R
    2.11199999999856e-05 × 6371000     		dr = 134.555519999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16519056--0.16514262) × cos(1.11465236) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.440489606817763 × 6371000     		do = 134.536864124614m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16519056--0.16514262) × cos(1.11463124) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.440508567362361 × 6371000     		du = 134.542655162978m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.11465236)-sin(1.11463124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.440489606817763-0.440508567362361)×R²
    abs(-0.16514262--0.16519056)×1.89605445976015e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.89605445976015e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.89605445976015e-05×40589641000000     		ar = 18103.0673202244m²