Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62090 / 34468
↖ ↑ ↗
← N 64.581470°
W  9.464722°		 ← 131.10 m → N 64.581470°
W  9.461975°		 →
↑
131.12 m
↓
↑
131.12 m
↓
N 64.580290°
W  9.464722°		 ← 131.10 m →
17 189 m²		 N 64.580290°
W  9.461975°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473712921142578 y=0.262973785400391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473712921142578 × 217)
    floor (0.473712921142578 × 131072)
    floor (62090.5)     		tx = 62090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262973785400391 × 217)
    floor (0.262973785400391 × 131072)
    floor (34468.5)     		ty = 34468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62090 / 34468 ti = "17/62090/34468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62090/34468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62090 ÷ 217
    62090 ÷ 131072     		x = 0.473709106445312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34468 ÷ 217
    34468 ÷ 131072     		y = 0.262969970703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473709106445312 × 2 - 1) × π
    -0.052581787109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16519056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262969970703125 × 2 - 1) × π
    0.47406005859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.4893035973959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16519056} λ = -0.16519056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4893035973959))-π/2
    2×atan(4.43400658982361)-π/2
    2×1.3489778033634-π/2
    2.69795560672681-1.57079632675     		φ = 1.12715928
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16519056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.464722°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12715928 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.581470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62090 KachelY 34468 -0.16519056 1.12715928 -9.464722 64.581470
    Oben rechts KachelX + 1 62091 KachelY 34468 -0.16514262 1.12715928 -9.461975 64.581470
    Unten links KachelX 62090 KachelY + 1 34469 -0.16519056 1.12713870 -9.464722 64.580290
    Unten rechts KachelX + 1 62091 KachelY + 1 34469 -0.16514262 1.12713870 -9.461975 64.580290
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12715928-1.12713870) × R
    2.05800000001588e-05 × 6371000     		dl = 131.115180001012m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12715928-1.12713870) × R
    2.05800000001588e-05 × 6371000     		dr = 131.115180001012m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16519056--0.16514262) × cos(1.12715928) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.429227264764294 × 6371000     		do = 131.0970549688m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16519056--0.16514262) × cos(1.12713870) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.429245852457794 × 6371000     		du = 131.102732128842m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12715928)-sin(1.12713870))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429227264764294-0.429245852457794)×R²
    abs(-0.16514262--0.16519056)×1.85876935002161e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85876935002161e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85876935002161e-05×40589641000000     		ar = 17189.1861413128m²