Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 6209 / 6716
↖ ↑ ↗
← N 30.826781°
W 43.571778°		 ← 2 098.09 m → N 30.826781°
W 43.549805°		 →
↑
2 098.23 m
↓
↑
2 098.23 m
↓
N 30.807911°
W 43.571778°		 ← 2 098.51 m →
4 402 705 m²		 N 30.807911°
W 43.549805°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 6209 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 6716 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.378997802734375 y=0.409942626953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.378997802734375 × 214)
    floor (0.378997802734375 × 16384)
    floor (6209.5)     		tx = 6209
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.409942626953125 × 214)
    floor (0.409942626953125 × 16384)
    floor (6716.5)     		ty = 6716
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 6209 / 6716 ti = "14/6209/6716"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/6209/6716.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 6209 ÷ 214
    6209 ÷ 16384     		x = 0.37896728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 6716 ÷ 214
    6716 ÷ 16384     		y = 0.409912109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.37896728515625 × 2 - 1) × π
    -0.2420654296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.76047098
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.409912109375 × 2 - 1) × π
    0.18017578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.566038910713623
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.76047098} λ = -0.76047098}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.566038910713623))-π/2
    2×atan(1.76127664171945)-π/2
    2×1.05441257568016-π/2
    2.10882515136033-1.57079632675     		φ = 0.53802882
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.76047098} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -43.571778°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.53802882 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.826781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 6209 KachelY 6716 -0.76047098 0.53802882 -43.571778 30.826781
    Oben rechts KachelX + 1 6210 KachelY 6716 -0.76008748 0.53802882 -43.549805 30.826781
    Unten links KachelX 6209 KachelY + 1 6717 -0.76047098 0.53769948 -43.571778 30.807911
    Unten rechts KachelX + 1 6210 KachelY + 1 6717 -0.76008748 0.53769948 -43.549805 30.807911
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.53802882-0.53769948) × R
    0.000329339999999956 × 6371000     		dl = 2098.22513999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.53802882-0.53769948) × R
    0.000329339999999956 × 6371000     		dr = 2098.22513999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.76047098--0.76008748) × cos(0.53802882) × R
    0.000383499999999981 × 0.858720468956848 × 6371000     		do = 2098.09325931208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.76047098--0.76008748) × cos(0.53769948) × R
    0.000383499999999981 × 0.858889190787656 × 6371000     		du = 2098.50549373377m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.53802882)-sin(0.53769948))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.858720468956848-0.858889190787656)×R²
    abs(-0.76008748--0.76047098)×0.000168721830807739×R²
    0.000383499999999981×0.000168721830807739×6371000²
    0.000383499999999981×0.000168721830807739×40589641000000     		ar = 4402704.54286132m²