Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 62089 / 76429
↖ ↑ ↗
← S 28.644800°
W  9.467468°		 ← 267.99 m → S 28.644800°
W  9.464722°		 →
↑
268.03 m
↓
↑
268.03 m
↓
S 28.647210°
W  9.467468°		 ← 267.98 m →
71 828 m²		 S 28.647210°
W  9.464722°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76429 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473705291748047 y=0.583110809326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473705291748047 × 217)
    floor (0.473705291748047 × 131072)
    floor (62089.5)     		tx = 62089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583110809326172 × 217)
    floor (0.583110809326172 × 131072)
    floor (76429.5)     		ty = 76429
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62089 / 76429 ti = "17/62089/76429"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62089/76429.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62089 ÷ 217
    62089 ÷ 131072     		x = 0.473701477050781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76429 ÷ 217
    76429 ÷ 131072     		y = 0.583106994628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473701477050781 × 2 - 1) × π
    -0.0525970458984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16523849
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583106994628906 × 2 - 1) × π
    -0.166213989257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.522176647561272
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16523849} λ = -0.16523849}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.522176647561272))-π/2
    2×atan(0.593227893606174)-π/2
    2×0.535425130027556-π/2
    1.07085026005511-1.57079632675     		φ = -0.49994607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16523849} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.467468°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49994607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.644800°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62089 KachelY 76429 -0.16523849 -0.49994607 -9.467468 -28.644800
    Oben rechts KachelX + 1 62090 KachelY 76429 -0.16519056 -0.49994607 -9.464722 -28.644800
    Unten links KachelX 62089 KachelY + 1 76430 -0.16523849 -0.49998814 -9.467468 -28.647210
    Unten rechts KachelX + 1 62090 KachelY + 1 76430 -0.16519056 -0.49998814 -9.464722 -28.647210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49994607--0.49998814) × R
    4.20700000000052e-05 × 6371000     		dl = 268.027970000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49994607--0.49998814) × R
    4.20700000000052e-05 × 6371000     		dr = 268.027970000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16523849--0.16519056) × cos(-0.49994607) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.877608416033457 × 6371000     		do = 267.98828746507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16523849--0.16519056) × cos(-0.49998814) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.87758824781554 × 6371000     		du = 267.982128857105m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49994607)-sin(-0.49998814))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.877608416033457-0.87758824781554)×R²
    abs(-0.16519056--0.16523849)×2.01682179166163e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.01682179166163e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.01682179166163e-05×40589641000000     		ar = 71827.531344065m²