Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62087 / 74432
↖ ↑ ↗
← S 23.725012°
W  9.472962°		 ← 279.61 m → S 23.725012°
W  9.470215°		 →
↑
279.56 m
↓
↑
279.56 m
↓
S 23.727526°
W  9.472962°		 ← 279.61 m →
78 168 m²		 S 23.727526°
W  9.470215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74432 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473690032958984 y=0.567874908447266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473690032958984 × 217)
    floor (0.473690032958984 × 131072)
    floor (62087.5)     		tx = 62087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567874908447266 × 217)
    floor (0.567874908447266 × 131072)
    floor (74432.5)     		ty = 74432
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62087 / 74432 ti = "17/62087/74432"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62087/74432.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62087 ÷ 217
    62087 ÷ 131072     		x = 0.473686218261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74432 ÷ 217
    74432 ÷ 131072     		y = 0.56787109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473686218261719 × 2 - 1) × π
    -0.0526275634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16533437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.56787109375 × 2 - 1) × π
    -0.1357421875 × 3.1415926535     		Φ = -0.42644665902002
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16533437} λ = -0.16533437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.42644665902002))-π/2
    2×atan(0.652824686955399)-π/2
    2×0.5783583784697-π/2
    1.1567167569394-1.57079632675     		φ = -0.41407957
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16533437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.472962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41407957 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.725012°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62087 KachelY 74432 -0.16533437 -0.41407957 -9.472962 -23.725012
    Oben rechts KachelX + 1 62088 KachelY 74432 -0.16528643 -0.41407957 -9.470215 -23.725012
    Unten links KachelX 62087 KachelY + 1 74433 -0.16533437 -0.41412345 -9.472962 -23.727526
    Unten rechts KachelX + 1 62088 KachelY + 1 74433 -0.16528643 -0.41412345 -9.470215 -23.727526
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41407957--0.41412345) × R
    4.38799999999961e-05 × 6371000     		dl = 279.559479999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41407957--0.41412345) × R
    4.38799999999961e-05 × 6371000     		dr = 279.559479999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16533437--0.16528643) × cos(-0.41407957) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.915487040910553 × 6371000     		do = 279.613306930494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16533437--0.16528643) × cos(-0.41412345) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.915469385022684 × 6371000     		du = 279.607914367877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41407957)-sin(-0.41412345))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915487040910553-0.915469385022684)×R²
    abs(-0.16528643--0.16533437)×1.76558878682842e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.76558878682842e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.76558878682842e-05×40589641000000     		ar = 78167.7969280919m²