Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62087 / 34470
↖ ↑ ↗
← N 64.579112°
W  9.472962°		 ← 131.11 m → N 64.579112°
W  9.470215°		 →
↑
131.12 m
↓
↑
131.12 m
↓
N 64.577933°
W  9.472962°		 ← 131.11 m →
17 191 m²		 N 64.577933°
W  9.470215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473690032958984 y=0.262989044189453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473690032958984 × 217)
    floor (0.473690032958984 × 131072)
    floor (62087.5)     		tx = 62087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.262989044189453 × 217)
    floor (0.262989044189453 × 131072)
    floor (34470.5)     		ty = 34470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62087 / 34470 ti = "17/62087/34470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62087/34470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62087 ÷ 217
    62087 ÷ 131072     		x = 0.473686218261719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34470 ÷ 217
    34470 ÷ 131072     		y = 0.262985229492188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473686218261719 × 2 - 1) × π
    -0.0526275634765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16533437
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.262985229492188 × 2 - 1) × π
    0.474029541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.48920772359666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16533437} λ = -0.16533437}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48920772359666))-π/2
    2×atan(4.43358150514356)-π/2
    2×1.34895722664822-π/2
    2.69791445329643-1.57079632675     		φ = 1.12711813
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16533437} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.472962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12711813 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.579112°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62087 KachelY 34470 -0.16533437 1.12711813 -9.472962 64.579112
    Oben rechts KachelX + 1 62088 KachelY 34470 -0.16528643 1.12711813 -9.470215 64.579112
    Unten links KachelX 62087 KachelY + 1 34471 -0.16533437 1.12709755 -9.472962 64.577933
    Unten rechts KachelX + 1 62088 KachelY + 1 34471 -0.16528643 1.12709755 -9.470215 64.577933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12711813-1.12709755) × R
    2.05799999999368e-05 × 6371000     		dl = 131.115179999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12711813-1.12709755) × R
    2.05799999999368e-05 × 6371000     		dr = 131.115179999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16533437--0.16528643) × cos(1.12711813) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.429264430937704 × 6371000     		do = 131.108406474817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16533437--0.16528643) × cos(1.12709755) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.429283018267682 × 6371000     		du = 131.11408352383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12711813)-sin(1.12709755))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429264430937704-0.429283018267682)×R²
    abs(-0.16528643--0.16533437)×1.85873299780037e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85873299780037e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85873299780037e-05×40589641000000     		ar = 17190.6744886782m²