Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62086 / 34478
↖ ↑ ↗
← N 64.569678°
W  9.475708°		 ← 131.13 m → N 64.569678°
W  9.472962°		 →
↑
131.18 m
↓
↑
131.18 m
↓
N 64.568498°
W  9.475708°		 ← 131.13 m →
17 201 m²		 N 64.568498°
W  9.472962°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34478 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473682403564453 y=0.263050079345703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473682403564453 × 217)
    floor (0.473682403564453 × 131072)
    floor (62086.5)     		tx = 62086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263050079345703 × 217)
    floor (0.263050079345703 × 131072)
    floor (34478.5)     		ty = 34478
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62086 / 34478 ti = "17/62086/34478"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62086/34478.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62086 ÷ 217
    62086 ÷ 131072     		x = 0.473678588867188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34478 ÷ 217
    34478 ÷ 131072     		y = 0.263046264648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473678588867188 × 2 - 1) × π
    -0.052642822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.16538230
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263046264648438 × 2 - 1) × π
    0.473907470703125 × 3.1415926535     		Φ = 1.4888242283997
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16538230} λ = -0.16538230}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.4888242283997))-π/2
    2×atan(4.43188157390957)-π/2
    2×1.34887490196788-π/2
    2.69774980393575-1.57079632675     		φ = 1.12695348
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16538230} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.475708°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12695348 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.569678°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62086 KachelY 34478 -0.16538230 1.12695348 -9.475708 64.569678
    Oben rechts KachelX + 1 62087 KachelY 34478 -0.16533437 1.12695348 -9.472962 64.569678
    Unten links KachelX 62086 KachelY + 1 34479 -0.16538230 1.12693289 -9.475708 64.568498
    Unten rechts KachelX + 1 62087 KachelY + 1 34479 -0.16533437 1.12693289 -9.472962 64.568498
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12695348-1.12693289) × R
    2.0590000000098e-05 × 6371000     		dl = 131.178890000625m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12695348-1.12693289) × R
    2.0590000000098e-05 × 6371000     		dr = 131.178890000625m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16538230--0.16533437) × cos(1.12695348) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.429413133517293 × 6371000     		do = 131.126466159506m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16538230--0.16533437) × cos(1.12693289) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.42943172842342 × 6371000     		du = 131.132144337789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12695348)-sin(1.12693289))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429413133517293-0.42943172842342)×R²
    abs(-0.16533437--0.16538230)×1.85949061267676e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.85949061267676e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.85949061267676e-05×40589641000000     		ar = 17201.3967095878m²