Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62084 / 74420
↖ ↑ ↗
← S 23.694835°
W  9.481201°		 ← 279.68 m → S 23.694835°
W  9.478455°		 →
↑
279.69 m
↓
↑
279.69 m
↓
S 23.697350°
W  9.481201°		 ← 279.67 m →
78 222 m²		 S 23.697350°
W  9.478455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74420 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473667144775391 y=0.567783355712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473667144775391 × 217)
    floor (0.473667144775391 × 131072)
    floor (62084.5)     		tx = 62084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567783355712891 × 217)
    floor (0.567783355712891 × 131072)
    floor (74420.5)     		ty = 74420
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62084 / 74420 ti = "17/62084/74420"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62084/74420.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62084 ÷ 217
    62084 ÷ 131072     		x = 0.473663330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74420 ÷ 217
    74420 ÷ 131072     		y = 0.567779541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473663330078125 × 2 - 1) × π
    -0.05267333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16547818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567779541015625 × 2 - 1) × π
    -0.13555908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.425871416224579
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16547818} λ = -0.16547818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.425871416224579))-π/2
    2×atan(0.65320032768521)-π/2
    2×0.578621722593837-π/2
    1.15724344518767-1.57079632675     		φ = -0.41355288
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16547818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.481201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41355288 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.694835°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62084 KachelY 74420 -0.16547818 -0.41355288 -9.481201 -23.694835
    Oben rechts KachelX + 1 62085 KachelY 74420 -0.16543024 -0.41355288 -9.478455 -23.694835
    Unten links KachelX 62084 KachelY + 1 74421 -0.16547818 -0.41359678 -9.481201 -23.697350
    Unten rechts KachelX + 1 62085 KachelY + 1 74421 -0.16543024 -0.41359678 -9.478455 -23.697350
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41355288--0.41359678) × R
    4.38999999999856e-05 × 6371000     		dl = 279.686899999908m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41355288--0.41359678) × R
    4.38999999999856e-05 × 6371000     		dr = 279.686899999908m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16547818--0.16543024) × cos(-0.41355288) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.915698826304913 × 6371000     		do = 279.677991641288m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16547818--0.16543024) × cos(-0.41359678) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.915681183539145 × 6371000     		du = 279.672603086498m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41355288)-sin(-0.41359678))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.915698826304913-0.915681183539145)×R²
    abs(-0.16543024--0.16547818)×1.76427657677669e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.76427657677669e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.76427657677669e-05×40589641000000     		ar = 78221.5169388287m²