Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62084 / 34476
↖ ↑ ↗
← N 64.572036°
W  9.481201°		 ← 131.14 m → N 64.572036°
W  9.478455°		 →
↑
131.12 m
↓
↑
131.12 m
↓
N 64.570857°
W  9.481201°		 ← 131.15 m →
17 195 m²		 N 64.570857°
W  9.478455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 34476 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473667144775391 y=0.263034820556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473667144775391 × 217)
    floor (0.473667144775391 × 131072)
    floor (62084.5)     		tx = 62084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.263034820556641 × 217)
    floor (0.263034820556641 × 131072)
    floor (34476.5)     		ty = 34476
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62084 / 34476 ti = "17/62084/34476"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62084/34476.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62084 ÷ 217
    62084 ÷ 131072     		x = 0.473663330078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 34476 ÷ 217
    34476 ÷ 131072     		y = 0.263031005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473663330078125 × 2 - 1) × π
    -0.05267333984375 × 3.1415926535     		Λ = -0.16547818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.263031005859375 × 2 - 1) × π
    0.47393798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.48892010219894
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16547818} λ = -0.16547818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.48892010219894))-π/2
    2×atan(4.43230649560294)-π/2
    2×1.34889548581114-π/2
    2.69779097162228-1.57079632675     		φ = 1.12699464
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16547818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.481201°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.12699464 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 64.572036°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62084 KachelY 34476 -0.16547818 1.12699464 -9.481201 64.572036
    Oben rechts KachelX + 1 62085 KachelY 34476 -0.16543024 1.12699464 -9.478455 64.572036
    Unten links KachelX 62084 KachelY + 1 34477 -0.16547818 1.12697406 -9.481201 64.570857
    Unten rechts KachelX + 1 62085 KachelY + 1 34477 -0.16543024 1.12697406 -9.478455 64.570857
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.12699464-1.12697406) × R
    2.05799999999368e-05 × 6371000     		dl = 131.115179999597m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.12699464-1.12697406) × R
    2.05799999999368e-05 × 6371000     		dr = 131.115179999597m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16547818--0.16543024) × cos(1.12699464) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.429375961221419 × 6371000     		do = 131.142470694253m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16547818--0.16543024) × cos(1.12697406) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.429394547460288 × 6371000     		du = 131.148147410014m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.12699464)-sin(1.12697406))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.429375961221419-0.429394547460288)×R²
    abs(-0.16543024--0.16547818)×1.85862388695779e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.85862388695779e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.85862388695779e-05×40589641000000     		ar = 17195.1408030027m²