Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62083 / 77954
↖ ↑ ↗
← S 32.254620°
W  9.483948°		 ← 258.24 m → S 32.254620°
W  9.481201°		 →
↑
258.28 m
↓
↑
258.28 m
↓
S 32.256943°
W  9.483948°		 ← 258.23 m →
66 697 m²		 S 32.256943°
W  9.481201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77954 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473659515380859 y=0.594745635986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473659515380859 × 217)
    floor (0.473659515380859 × 131072)
    floor (62083.5)     		tx = 62083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594745635986328 × 217)
    floor (0.594745635986328 × 131072)
    floor (77954.5)     		ty = 77954
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62083 / 77954 ti = "17/62083/77954"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62083/77954.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62083 ÷ 217
    62083 ÷ 131072     		x = 0.473655700683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77954 ÷ 217
    77954 ÷ 131072     		y = 0.594741821289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473655700683594 × 2 - 1) × π
    -0.0526885986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16552611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.594741821289062 × 2 - 1) × π
    -0.189483642578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.595280419481857
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16552611} λ = -0.16552611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.595280419481857))-π/2
    2×atan(0.551407918662955)-π/2
    2×0.503923503891174-π/2
    1.00784700778235-1.57079632675     		φ = -0.56294932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16552611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.483948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56294932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.254620°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62083 KachelY 77954 -0.16552611 -0.56294932 -9.483948 -32.254620
    Oben rechts KachelX + 1 62084 KachelY 77954 -0.16547818 -0.56294932 -9.481201 -32.254620
    Unten links KachelX 62083 KachelY + 1 77955 -0.16552611 -0.56298986 -9.483948 -32.256943
    Unten rechts KachelX + 1 62084 KachelY + 1 77955 -0.16547818 -0.56298986 -9.481201 -32.256943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56294932--0.56298986) × R
    4.05399999999778e-05 × 6371000     		dl = 258.280339999859m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56294932--0.56298986) × R
    4.05399999999778e-05 × 6371000     		dr = 258.280339999859m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16552611--0.16547818) × cos(-0.56294932) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.845684790290661 × 6371000     		do = 258.240024303289m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16552611--0.16547818) × cos(-0.56298986) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.845663154098646 × 6371000     		du = 258.233417431774m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56294932)-sin(-0.56298986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.845684790290661-0.845663154098646)×R²
    abs(-0.16547818--0.16552611)×2.16361920150066e-05×R²
    4.79300000000016e-05×2.16361920150066e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×2.16361920150066e-05×40589641000000     		ar = 66697.4680751885m²