Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62083 / 29564
↖ ↑ ↗
← N 69.782749°
W  9.483948°		 ← 105.53 m → N 69.782749°
W  9.481201°		 →
↑
105.57 m
↓
↑
105.57 m
↓
N 69.781800°
W  9.483948°		 ← 105.53 m →
11 140 m²		 N 69.781800°
W  9.481201°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473659515380859 y=0.225559234619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473659515380859 × 217)
    floor (0.473659515380859 × 131072)
    floor (62083.5)     		tx = 62083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225559234619141 × 217)
    floor (0.225559234619141 × 131072)
    floor (29564.5)     		ty = 29564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62083 / 29564 ti = "17/62083/29564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62083/29564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62083 ÷ 217
    62083 ÷ 131072     		x = 0.473655700683594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29564 ÷ 217
    29564 ÷ 131072     		y = 0.225555419921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473655700683594 × 2 - 1) × π
    -0.0526885986328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.16552611
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225555419921875 × 2 - 1) × π
    0.54888916015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.72438615313266
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16552611} λ = -0.16552611}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72438615313266))-π/2
    2×atan(5.60907685844621)-π/2
    2×1.39436752705464-π/2
    2.78873505410928-1.57079632675     		φ = 1.21793873
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16552611} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.483948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21793873 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.782749°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62083 KachelY 29564 -0.16552611 1.21793873 -9.483948 69.782749
    Oben rechts KachelX + 1 62084 KachelY 29564 -0.16547818 1.21793873 -9.481201 69.782749
    Unten links KachelX 62083 KachelY + 1 29565 -0.16552611 1.21792216 -9.483948 69.781800
    Unten rechts KachelX + 1 62084 KachelY + 1 29565 -0.16547818 1.21792216 -9.481201 69.781800
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21793873-1.21792216) × R
    1.65699999998825e-05 × 6371000     		dl = 105.567469999251m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21793873-1.21792216) × R
    1.65699999998825e-05 × 6371000     		dr = 105.567469999251m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16552611--0.16547818) × cos(1.21793873) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.345580752228867 × 6371000     		do = 105.527240029537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16552611--0.16547818) × cos(1.21792216) × R
    4.79300000000016e-05 × 0.345596301287404 × 6371000     		du = 105.531988121617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21793873)-sin(1.21792216))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345580752228867-0.345596301287404)×R²
    abs(-0.16547818--0.16552611)×1.55490585374563e-05×R²
    4.79300000000016e-05×1.55490585374563e-05×6371000²
    4.79300000000016e-05×1.55490585374563e-05×40589641000000     		ar = 11140.494368168m²