Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62082 / 77965
↖ ↑ ↗
← S 32.280167°
W  9.486694°		 ← 258.22 m → S 32.280167°
W  9.483948°		 →
↑
258.22 m
↓
↑
258.22 m
↓
S 32.282489°
W  9.486694°		 ← 258.21 m →
66 676 m²		 S 32.282489°
W  9.483948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77965 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473651885986328 y=0.594829559326172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473651885986328 × 217)
    floor (0.473651885986328 × 131072)
    floor (62082.5)     		tx = 62082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.594829559326172 × 217)
    floor (0.594829559326172 × 131072)
    floor (77965.5)     		ty = 77965
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62082 / 77965 ti = "17/62082/77965"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62082/77965.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62082 ÷ 217
    62082 ÷ 131072     		x = 0.473648071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77965 ÷ 217
    77965 ÷ 131072     		y = 0.594825744628906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473648071289062 × 2 - 1) × π
    -0.052703857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16557405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.594825744628906 × 2 - 1) × π
    -0.189651489257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.595807725377678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16557405} λ = -0.16557405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.595807725377678))-π/2
    2×atan(0.551117234662871)-π/2
    2×0.503700567980579-π/2
    1.00740113596116-1.57079632675     		φ = -0.56339519
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16557405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.486694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.56339519 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -32.280167°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62082 KachelY 77965 -0.16557405 -0.56339519 -9.486694 -32.280167
    Oben rechts KachelX + 1 62083 KachelY 77965 -0.16552611 -0.56339519 -9.483948 -32.280167
    Unten links KachelX 62082 KachelY + 1 77966 -0.16557405 -0.56343572 -9.486694 -32.282489
    Unten rechts KachelX + 1 62083 KachelY + 1 77966 -0.16552611 -0.56343572 -9.483948 -32.282489
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.56339519--0.56343572) × R
    4.05299999999276e-05 × 6371000     		dl = 258.216629999539m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.56339519--0.56343572) × R
    4.05299999999276e-05 × 6371000     		dr = 258.216629999539m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16557405--0.16552611) × cos(-0.56339519) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.84544675312733 × 6371000     		do = 258.221200204492m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16557405--0.16552611) × cos(-0.56343572) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.845425106992367 × 6371000     		du = 258.214588917703m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.56339519)-sin(-0.56343572))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.84544675312733-0.845425106992367)×R²
    abs(-0.16552611--0.16557405)×2.1646134962916e-05×R²
    4.79399999999963e-05×2.1646134962916e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×2.1646134962916e-05×40589641000000     		ar = 66676.1545482034m²