Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 62082 / 74370
↖ ↑ ↗
← S 23.569022°
W  9.486694°		 ← 279.95 m → S 23.569022°
W  9.483948°		 →
↑
279.94 m
↓
↑
279.94 m
↓
S 23.571540°
W  9.486694°		 ← 279.94 m →
78 368 m²		 S 23.571540°
W  9.483948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 62082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 74370 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.473651885986328 y=0.567401885986328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.473651885986328 × 217)
    floor (0.473651885986328 × 131072)
    floor (62082.5)     		tx = 62082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.567401885986328 × 217)
    floor (0.567401885986328 × 131072)
    floor (74370.5)     		ty = 74370
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 62082 / 74370 ti = "17/62082/74370"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/62082/74370.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 62082 ÷ 217
    62082 ÷ 131072     		x = 0.473648071289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 74370 ÷ 217
    74370 ÷ 131072     		y = 0.567398071289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.473648071289062 × 2 - 1) × π
    -0.052703857421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.16557405
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.567398071289062 × 2 - 1) × π
    -0.134796142578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.423474571243576
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.16557405} λ = -0.16557405}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.423474571243576))-π/2
    2×atan(0.654767825386288)-π/2
    2×0.579719644458389-π/2
    1.15943928891678-1.57079632675     		φ = -0.41135704
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.16557405} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -9.486694°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.41135704 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -23.569022°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 62082 KachelY 74370 -0.16557405 -0.41135704 -9.486694 -23.569022
    Oben rechts KachelX + 1 62083 KachelY 74370 -0.16552611 -0.41135704 -9.483948 -23.569022
    Unten links KachelX 62082 KachelY + 1 74371 -0.16557405 -0.41140098 -9.486694 -23.571540
    Unten rechts KachelX + 1 62083 KachelY + 1 74371 -0.16552611 -0.41140098 -9.483948 -23.571540
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.41135704--0.41140098) × R
    4.39400000000201e-05 × 6371000     		dl = 279.941740000128m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.41135704--0.41140098) × R
    4.39400000000201e-05 × 6371000     		dr = 279.941740000128m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.16557405--0.16552611) × cos(-0.41135704) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.916579049714919 × 6371000     		do = 279.946834527654m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.16557405--0.16552611) × cos(-0.41140098) × R
    4.79399999999963e-05 × 0.916561479265977 × 6371000     		du = 279.941468060284m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.41135704)-sin(-0.41140098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.916579049714919-0.916561479265977)×R²
    abs(-0.16552611--0.16557405)×1.757044894235e-05×R²
    4.79399999999963e-05×1.757044894235e-05×6371000²
    4.79399999999963e-05×1.757044894235e-05×40589641000000     		ar = 78368.0528286529m²